Множества, операции над множествами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Под множеством понимается любая совокупность некоторых объектов. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначают большими буквами, а элементы - маленькими.

То что элемент $a$ принадлежит множеству $A$ (то есть является элементом множества $A$) записывают так $a\in A,$ а то что элемент $b$ не принадлежит множеству $A$ (не является его элементом) записывают так $b\notin A.$

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом $\emptyset.$

Запись $A\subset B $ ($A$ содержится в $B$) означает, что каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B;$ в этом случае множество $A$ называется подмножеством множества $B.$ Множества $A$ и $B$ называют равными $(A=B),$ если $A\subset B$ и $B\subset A.$

Существует два основных способа задания (описания) множеств.

а) Множество $A$ определяется непосредственным перечислением всех своих элементов $a_1, a_2, ..., a_n,$ то есть записывается в виде $$A=\{a_1, a_2, ..., a_n\}.$$

Например множество простых чисел от 10 до 20 можно записать так: $\{11, 13, 17, 19\}.$ 

б) Множество $A$ определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества $T,$ которые обладают общим свойством $\alpha.$ В этом случае используется обозначение $$A=\{x\in T|\alpha(x)\},$$ где запись $\alpha(x)$ означает, что элемент $x$ обладает свойством $\alpha.$

Например $[0, 1)=\{x\in R| 0\leq x<1\}.$

Объеденением множеств $A$ и $B$ называется множество $$A\cup B=\{x|(x\in A)\vee (x\in B)\}$$

Пересечением множеств и называется множество $$A\cap B=\{x|(x\in A)\wedge (x\in B)\}$$ 

Операции объеденения и пересечения обладают следующими свойствами:

1) коммутативности

$$A\cup B=B\cup A;\qquad A\cap B=B\cap A;$$

2) ассоциативности

$$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C; (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C);$$

3) дистрибутивности

$$(A\cup B)\cap C= (A\cap C)\cup(B\cap C);\quad (A\cap B)\cup C= (A\cup C)\cap(B\cup C);$$

4) идемпотентности

$$A\cup A=A;\quad A\cap A=A.$$

Множество, стостоящее из всех элементов множества $A,$ не принаждлежащих множеству $B,$ называется разностью множеств $A$ и $B:$ $$A\setminus B=\{x|(x\in A)\wedge (x\notin B)\}.$$

Если $A\subset B$ , то $B\setminus A$ называют дополнением множества $A$ до множства $B:\,\, A_B'.$

Если, в частности, $A -$ подмножество некоторого универсального множества $U,$ то разность $U\setminus A$ обозначается символом $\overline A$ или $A'$ и называется дополнением множества $A$ (до множества $U$).

Из определения дополнения множества следуют равенства $$A\cup A' =U;\quad A\cap A' =\emptyset,\quad (A')'=A.$$

Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называют множество $A\Delta B,$ состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B,$ то есть $$A\Delta B =(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$$

Для любых подмножеств $A$ и $B$ множества $U$ справедливы следующие равенства, которые называют законами двойственности или законами де Моргана: $$(A\cup B)'=A'\cap B';\quad (A\cap B)'=A'\cup B'.$$

Примеры:

Доказать справдливость равенств

1) $(A\cap B)'=A'\cup B'$

Доказательство.

$x\in(A\cap B)' \Leftrightarrow x\notin (A\cap B)\Leftrightarrow x\notin A\vee x\notin B \Leftrightarrow $ $x\in A'\vee x\in B' \Leftrightarrow$

$ x\in (A'\cup B')\Leftrightarrow (A\cap B)'= A'\cup B'. $

Что и требовалось доказать.

 {jumi[*4]}

2) $(A\setminus B)\setminus C =A\setminus (B\cup C).$ 

Доказательство.

$x\in (A\setminus B)\setminus C \Leftrightarrow a\in A\setminus B \wedge a\notin C \Leftrightarrow (a\in A \wedge a\notin B)\wedge a\notin C\Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow a\in A \wedge (a\notin B \wedge a\notin C)\Leftrightarrow a\in A \wedge a\notin (B\cup C)\Leftrightarrow a\in A\setminus(B\cup C).$ 

Что и требовалось доказать.

3)  $A\setminus (A\setminus B)=A\cap B.$ 

Доказательство.

$a\in A\setminus(A\setminus B)\Leftrightarrow (a\in A)\wedge (a\notin A\setminus B)\Leftrightarrow $

$(a\in A) \wedge ((a\notin A)\vee (a\in B))\Leftrightarrow $

$((a\in A)\wedge(a\notin A))\vee((a\in A)\wedge(a\in B))\Leftrightarrow $

$(a\in A) \wedge (a\in B) \Leftrightarrow a\in A\cap B.$

Что и требовалось доказать.

 4) $A\cup(B\setminus C)\supset (A\cup B)\setminus C.$

Доказательство.

$a\in (A\cup B)\setminus C\Leftrightarrow (a\in A \vee a\in B)\wedge a\notin C \Leftrightarrow$

$ (a\in A \wedge a\notin C)\vee(a\in B\wedge a\notin C)\Rightarrow (a\in A )\vee(a\in B\wedge a\notin C)\Leftrightarrow$

$ a\in A\cup(B\setminus C).$

Что и требовалось доказать.

1.28. (a)

Установить, какая из двух записей верна: 

$\{1, 2\}\in\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}$ и $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}.$

Решение.

Запись $\{1, 2\}\in\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}$ означает, что эелемент  $\{1, 2\}$ содержится в множестве, состоящем из трех элементов $\{1\},$ $\{2\},$ и $\{\{1, 2, 3\}\}.$ Очевидно элемента $\{1, 2\}$ среди данных трех элементов нет. Поэтому такая запись не верна.

Запись $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}$ означает, что все элементы множества $\{1, 2\}$ (то есть $\{1\},$ и $\{2\}$ ) содержатся в множестве $\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}.$ Последнее множество состоит из элементов $\{1\},$ $\{2\},$ и $\{\{1, 2, 3\}\},$   поэтому данная запись верна.

Ответ:  $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}.$

В задачах 1.29, 1.30 заданные  множества задать перечислением всех своих элементов

1.29. $A=\{x\in R| x^3-3x^2+2x=0\}.$

Решение.

Найдем множество действительных решений уравнения $x^3-3x^2+2x=0:$

$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=0\Rightarrow$

$\Rightarrow x_1=0.$

Решим квадратное уравнение $x^2-3x+2=0.$

$D=3^2-4\cdot 2=1.$

$$x_2=\frac{3+1}{2}=2,\qquad\quad x_3=\frac{3-1}{2}=1.$$

Все корни уравнения действительные, поэтому запишем ответ:

Ответ: $\{0, 1, 2\}.$

1.30. $A=\{x\in R| x+\frac{1}{x}\leq 2,\,\,\, x>0\}.$

Решение.

Решим неравенство $x+\frac{1}{x}\leq 2:$

$\frac{x^2+1}{x}\leq\frac{2x}{x}.$

Поскольку $x>0,$ то $x^2+1\leq 2x.$ Решим квадратное уравнение

$x^2-2x+1=0\Rightarrow (x-1)^2=0\Rightarrow x_{1, 2}=1.$

Так как $y=x^2-2x+1$ это парабола, направленная осями вверх, то при всех остальных значениях $x,$ функция будет положительна. 

Таким образом решение неравенства $x+\frac{1}{x}\leq 2$ при условии $x>0:$

$x=1.$

Ответ: $\{1\}.$

Домашнее задание.

1.28 (б) 

Установить, какая из двух записей верна: 

$\{1, 2\}\in\{1, 2, \{1, 2\}\}$ и $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2\}\}.$

Ответ: обе записи верны.

В задачах 1.31, 1.32 заданные  множества задать перечислением всех своих элементов

1.31. $A=\{x\in N| x^2-3x-4\leq 0\}.$

Ответ: $A=\{1,\, 2,\, 3,\, 4\}. $

1.32. $A=\{x\in Z| \frac{1}{4}\leq 2^x<5\}.$

Ответ: $A=\{-2, \, -1, \, 0,\, 1,\, 2\}. $

Изобразить на координатной плоскости следующие множества:

1.35. $\{(x, y)\in R^2 |\, x+y-2=0\}.$

1.36. $\{(x, y)\in R^2 |\, x^2-y^2>0\}.$ 

1.37. $\{(x, y)\in R^2 |\, (x^2-1)(y+2)=0\}.$ 

1.43. Описать перечислением всех элементов множества $A\cup B, \,\, A\cap B, \,\, A\setminus B, \,\, B\setminus A.$

$$A=\{x\in R\,|\, x^2+x-20=0\},\qquad B=\{x\in R\, | \, x^2-x+12=0\}.$$

Ответ: $A\cup B=\{-5, 3, 4\},\,\, A\cap B =\{4\}, \,\,\, A\setminus B=\{5\}, B\setminus A= \{3\}.$

В задачах 1.50, 1.53, приняв отрезок за универсальное множество $T=[0, 1]$ найти и изобразить на числовой оси дополнения следующих множеств: 

1.50. $\{0, 1\};$

Ответ: $(0, \, 1).$

1.53. $\{1/4\}\cup[3/4,\, 1).$

Ответ: $[0, \, 1/4)\cup (1/4, 3/4)\cup \{1\}.$

1.55. Доказать, что операции $\cup$ и $\cap$ связаны законом дистрибутивности:

$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C);$$ 

$$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C);$$ 

Доказать равенства:

1.57. $A\setminus B=A\cap\overline B.$

1.58. $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B.$