Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.
English Version: Line in space, all possible equations.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) $\left\{\begin{array}{lcl}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\quad (P_1)\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\quad (P_2)\end{array}\right. - $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$
2) $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} -$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline{S}=(m, n, p).$ Вектор $\overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$
3) $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:
$$\left\{\begin{array}{lcl}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{array}\right. $$
Расположение двух прямых в пространстве.
Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$ $\overline{S}_1=(m_1, n_1, p_1);$
$L_2:$ $\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2},$ $\overline{S}_2=(m_2, n_2, p_2).$
Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{S}_1\parallel\overline{S}_2\Leftrightarrow$ $\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}.$
Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline{S}_1\perp\overline{S}_2\Leftrightarrow$ ${m_1}\cdot{m_2}+{n_1}\cdot{n_2}+p_1\cdot p_2=0.$
Угол между прямыми:
$\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{\overline{S}_1\cdot\overline{S}_2}{|\overline S_1|\cdot|\overline S_2|}=\frac{{m_1}\cdot{m_2}+{n_1}\cdot{n_2}+p_1\cdot p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\cdot\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}.$
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая $L$ задана уравнением $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p},$ следовательно $\overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=\frac{|[\overline{M_1M_2}, \overline S]|}{|\overline S|}.$$
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:
а) вектору $q(2, -3, 5);$
б) прямой $\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{-1};$
в) оси $OX;$
д) прямой $\left\{\begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end{array}\right. $
е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac{1}{2}t.$
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} -$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline{S}=(m, n, p).$
По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $\overline{S}=q(2,-3,5).$
Таким образом, $\frac{x-2}{2}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-(-3)}{5}\Rightarrow\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{5}.$
Ответ: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{5}.$
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{-1}$ имеет координаты $\overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):
$\frac{x-2}{5}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-(-3)}{-1}\Rightarrow\frac{x-2}{5}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}.$
Ответ: $\frac{x-2}{5}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}.$
в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$
$\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-(-3)}{0}\Rightarrow\frac{x-2}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z+3}{0}.$
Ответ: $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z+3}{0}.$
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому Направляющий вектор прямой
$\left\{\begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end{array}\right.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$
для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$
Находим векторное произведение:
$[N_1, N_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\3&-1&2\\1&3&-2\end{vmatrix}=i(2-6)-j(-6-2)+k(9+1)=-4i+8j+10k.$
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\{\begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end{array}\right.$ имеет координаты $\overline S (-4, 8, 10).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(-4, 8, 10):$
$\frac{x-2}{-4}=\frac{y-0}{8}=\frac{z-(-3)}{10}\Rightarrow\frac{x-2}{-4}=\frac{y}{8}=\frac{z+3}{10}.$
Ответ: $\frac{x-2}{-4}=\frac{y}{8}=\frac{z+3}{10}.$
{jumi[*4]}
е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac{1}{2}t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
$\left\{\begin{array}{lcl}x=-2+t,\\ y=2t,\\z=1-\frac{1}{2}t \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}t=x+2,\\ t=\frac{y}{2},\\t=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}} \end{array}\right.$ $\Rightarrow\frac{x+2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}.$
Отсюда находим направляющий вектор $\overline S\left(1, 2, -\frac{1}{2}\right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $\overline S_1(2, 4, -1).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(2, 4, -1):$
$\frac{x-2}{2}=\frac{y-0}{4}=\frac{z-(-3)}{-1}\Rightarrow\frac{x-2}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{-1}.$
Ответ: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{-1}.$
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
Подставляем заданные точки:
$\frac{x-1}{3-1}=\frac{y+2}{1+2}=\frac{z-1}{-1-1} \Rightarrow$ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-2}.$
Ответ: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-2}.$
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
$\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{2}$ и $\frac{x-7}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{2}.$
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=\frac{|[\overline{M_1M_2}, \overline S]|}{|\overline S|},$$ где $M_1-$ произвольная точка прямой $L_1,$ $M_2 - $произвольная точка прямой $L_2,$ $\overline S -$ направляющий вектор прямой $L_2.$
Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)\in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)\in L_2,$ $\overline S=(3, 4, 2).$
Отсюда находим $\overline{M_1M_2}=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$
$[\overline{M_1M_2}, \overline S]=\begin{vmatrix}i&j&k\\5&2&3\\3&4&2\end{vmatrix}=i(4-12)-j(10-9)+k(20-6)=$ $=-8i-j+14k.$
$|[\overline{M_1M_2},\overline S]|=\sqrt{8^2+1+14^2}=\sqrt{64+1+196}=\sqrt{261}=\sqrt{9* 29}=3\sqrt{29}.$
$|\overline S|=\sqrt{3^2+4^2+2^2}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$
$$d(L_1, L_2)=\frac{|[\overline{M_1M_2}, \overline S]|}{|\overline S|}=\frac{3\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=3.$$
Ответ: 3.
2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end{array}\right.$
Решение.
Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.
Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:
$\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+0+3=0,\\ 3x-2y+0+17=0 \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+3=0,\\ 3x-2y+17=0 \end{array}\right.-\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x+14=0,\\ 2x-2y+3=0 \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=-14,\\ -28-2y+3=0 \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=-14,\\ y=-\frac{25}{2}. \end{array}\right.$
Таким образом, $M=(-14, -\frac{25}{2}, 0)$
Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$
для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$
Находим векторное произведение:
$[N_1, N_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-2&1\\3&-2&2\end{vmatrix}=i(-4+2)-j(4-3)+k(-4+6)=-2i-j+2k.$
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end{array}\right.$
имеет координаты $\overline S (-2, -1, 2).$
Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=\frac{|[\overline{AM}, \overline S]|}{|\overline S|}.$$
$\overline{AM}=\left(2-(-14),3-\left(-\frac{25}{2}\right),-1-0\right)=\left(16, 15\frac{1}{2}, -1\right)$
$[\overline{AM}, \overline S]=\begin{vmatrix}i&j&k\\16&15,5&-1\\-2&-1&2\end{vmatrix}=i(31-1)-j(32-2)+k(-16+31)=$ $=30i-30j+15k.$
$|[\overline{AM},\overline S]|=\sqrt{30^2+30^2+15^2}=\sqrt{900+900+225}=\sqrt{2025}=45.$
$|\overline S|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=3$
$$d(A, L)=\frac{|[\overline{AM}, \overline S]|}{|\overline S|}=\frac{45}{3}=15.$$
Ответ: $d(A, L)=15.$
2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: \frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}.$
Решение.
Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$
$P: 3x-2y-3z-7=0\Rightarrow \overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $\overline N(3, -2, -3).$
$P_1: 3(x-3)-2(y+2)-3(z+4)=0\Rightarrow $
$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 \Rightarrow$
$P_1: 3x-2y-3z-25=0.$
Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:
$L: \frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}=t\Rightarrow$
$\left\{\begin{array}{lcl}x=3t+2,\\ y=-2t-4,\\z=2t+1. \end{array}\right.$
Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$
$3x-2y-3z-25=0$
$3(3t+2)-2(-2t-4)-3(2t+1)-25=0$
$9t+6+4t+8-6t-3-25=0$
$7t-14=0$
$t=\frac{14}{7}=2$
Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:
$\left\{\begin{array}{lcl}x=3t+2,\\ y=-2t-4,\\z=2t+1. \end{array}\right.\Rightarrow $ $\left\{\begin{array}{lcl}x=6+2=8,\\ y=-4-4=-8,\\z=4+1=5. \end{array}\right.$
Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$-- это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой (3) $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} :$
$\frac{x-3}{8-3}=\frac{y+2}{-8+2}=\frac{z+4}{5+4}\Rightarrow$ $\frac{x-3}{5}=\frac{y+2}{-6}=\frac{z+4}{9}.$
Ответ: $\frac{x-3}{5}=\frac{y+2}{-6}=\frac{z+4}{9}.$
Домашнее задание.
2.199.
б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$
Ответ: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-3}.$
2.205.
б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=3t+5,\\ y=2t,\\z=-2t-25. \end{array}\right.$
Ответ: 21.
2.206. Доказать, что прямые $L_1: \left\{\begin{array}{lcl}2x+2y-z-10=0,\\ x-y-z-22=0, \end{array}\right.$ и $L_2: \frac{x+7}{3}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-9}{4}.$ параллельны и найти расстояние $\rho(L_1, L_2)$
Ответ: 25.
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $\frac{x-5}{5}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{-1}$ и $\frac{x-3}{4}=\frac{y+4}{-6}=\frac{z-5}{2}.$
Ответ: $\frac{x+1}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-5}.$
2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{2}.$
Ответ: $\frac{x-7}{67}=\frac{y-1}{-28}=\frac{z}{70}.$
{jcomments on}