Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется базисом в пространстве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор $a$ может быть представлен единственным образом в виде $$a=X_1e_1+X_2e_2+X_3e_3.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1)$$ Числа $X_1, X_2, X_3$ называются координатами вектора в базисе $B=\{e_1, e_2, e_3\}.$ Запись (1) называют разложением вектора $a$ по базису $B.$

Аналогично, упорядоченная пара неколлинеарных векторов $e_1, e_2$ называется базисом $B=(e_1, e_2)$ в множестве геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости. 

Наконец, всякий ненулевой вектор $e$ образует базис $B=(e)$ в множестве геометрических векторов, коллинеарных некоторому направлению. 

Если вектор $a$ есть линейная комбинация векторов $a_1, a_2, ..., a_n$ с коэффициентами $\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n$, то есть $$a=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_ka_k$$ то каждая координата $X_i(a)$ вектора $a$ равна сумме произведений коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2,..., \lambda_n$ на одноименные координаты векторов $a_1, a_2, ..., a_n: $ $$X_i(a)=\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k X_i(a_k),\qquad (i=1, 2, 3.)$$

Базис $B=(e_1, e_2, e_3)$ называется прямоугольным, если векторы $e_1, e_2$ и $e_3$ попрано перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения  $$e_1=i;\,\, e_2-j;\,\, e_3=k.$$

Примеры.

2.26. Задан тетраэдр $OABC.$ В базисе из ребер $\overline{OA}, \overline{OB}$ и $\overline{OC}$  найти координаты:

а) вектора $\overline{DE},$ где $D$ и $E$ середины ребер $OA$ и $BC.$

б) вектора $\overline{OF},$ где $F-$ точка пересечения медиан основания $ABC.$

Решение.

а)

Выразим вектор $\overline{DE}$ через вектора $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$

Из треугольника $ODE$ имеем $\overline{DE}=\overline{DO}+\overline{OE}.\qquad\qquad\qquad (1)$

Далее, $\overline{DO}=-\overline{OD}=-\frac{1}{2}\overline{OA};$

вектор $\overline{OE}$ найдем из треугольника $OBE:$

$\overline{OE}=\overline{OB}+\overline{BE}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2),$

здесь $\overline{BE}=\frac{1}{2}\overline{BC},$ а вектор $\overline{BC}$ находим из треугольника $OBC:$

$\overline{BC}=\overline{BO}+\overline{OC}=\overline{OC}-\overline{OB}.$

Таким образом, из (2) получаем $\overline{OE}=\overline{OB}+\frac{1}{2}(\overline{OC}-\overline{OB}).$

Наконец из (1) имеем  $$\overline{DE}=\overline{DO}+\overline{OE}=-\frac{1}{2}\overline{OA}+\overline{OB}+\frac{1}{2}(\overline{OC}-\overline{OB})=$$ $$=-\frac{1}{2}\overline{OA}+\frac{1}{2}\overline{OB}+\frac{1}{2}\overline{OC}.$$

Таким образом, координаты вектора $\overline{DE}$ в базисе из ребер  $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$ $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Ответ: $\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right).$

б) 

 Выразим вектор $\overline{OF}$ через вектора $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$

Из треугольника $OFB$ имеем $\overline{OF}=\overline{OB}+\overline{BF}.\qquad\qquad\qquad (1)$

Далее, $\overline{BF}=\frac{2}{3}\overline{BM};$

вектор $\overline{BM}$ найдем из треугольника $BMC:$

$\overline{BM}=\overline{BC}+\overline{CM}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (2)$

здесь $\overline{CM}=\frac{1}{2}\overline{CA},$ а вектор $\overline{CA}$ находим из треугольника $OCA:$

$\overline{CA}=\overline{CO}+\overline{OA}=-\overline{OC}+\overline{OA};$

$\overline{BC}=\overline{BO}+\overline{OC}=\overline{OC}-\overline{OB}.$

Таким образом, из (2) получаем $$\overline{BM}=\overline{BC}+\overline{CM}=\overline{OC}-\overline{OB}+\frac{1}{2}\overline{CA}=$$ $$=\overline{OC}-\overline{OB}+\frac{1}{2}(-\overline{OC}+\overline{OA}).$$

Наконец из (1) имеем  $$\overline{OF}=\overline{OB}+\overline{BF}=\overline{OB}+\frac{2}{3}\overline{BM}=$$ $$=\overline{OB}+\frac{2}{3}\left(\overline{OC}-\overline{OB}+\frac{1}{2}(-\overline{OC}+\overline{OA})\right)=$$ $$=\overline{OB}+\frac{2}{3}\overline{OC}-\frac{2}{3}\overline{OB}+\frac{1}{3}(-\overline{OC}+\overline{OA})=\frac{1}{3}\overline{OA}+\frac{1}{3}\overline{OB}+\frac{1}{3}\overline{OC}.$$ 

Таким образом, координаты вектора $\overline{OF}$ в базисе из ребер  $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}:$ $\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right).$

Ответ: $\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right).$

  {jumi[*4]}

2.27. В тетраэдре $OABC$ медиана $AL$ грани $ABC$ делится точкой $M$ в отношении $|\overline{AM}|:|\overline{ML}|=3:7.$ Найти координаты вектора $\overline{OM}$ в базисе из ребер $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}.$

Решение.

Вектор $\overline{OM}$ найдем из треугольника $AOM:$ $$\overline{OM}=\overline{OA}+\overline{AM}.\qquad\qquad\qquad (1)$$

Из условия $|\overline{AM}|:|\overline{ML}|=3:7$ имеем $\overline{AM}=\frac{3}{10}\overline{AL}.$ Из треугольника $ABL$ находим $\overline{AL}=\overline{AB}+\overline{BL}=\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{BC}.$

Далее, из треугольников $AOB$ и $BOC$ получаем 

$\overline{AB}=\overline{AO}+\overline{OB}=-\overline{OA}+\overline{OB}.$

$\overline{BC}=\overline{BO}+\overline{OC}=\overline{OC}-\overline{OB}.$

Таким образом,

$$\overline{AM}=\frac{3}{10}\overline{AL}=\frac{3}{10}\left(\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{BC}\right)=\frac{3}{10}\left(-\overline{OA}+\overline{OB}+\frac{1}{2}(\overline{OC}-\overline{OB})\right)=$$ $=-\frac{3}{10}\overline{OA}+\frac{3}{20}\overline{OB}+\frac{3}{20}\overline{OC}.$

Отсюда и из (1) получаем $$\overline{OM}=\overline{OA}+\overline{AM}=\overline{OA}+\frac{3}{10}\overline{OA}+\frac{3}{20}\overline{OB}+\frac{3}{20}\overline{OC}=$$ $$=\frac{7}{10}\overline{OA}-\frac{3}{20}\overline{OB}+\frac{3}{20}\overline{OC}.$$

Ответ: $\left(\frac{7}{10}; \frac{3}{20};\frac{3}{20}\right).$

2.29. В трапеции $ABCD$ известно отношение длин оснований  $|\overline{AB}|/|\overline{CD}|=\lambda$ Найти координаты вектора $\overline{CB}$ в базисе из векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AD}.$

Решение.

Вектор $\overline{CB}$ можно найти из треугольника $ABC:$ $\overline{CB}=\overline{CA}+\overline{AB}.$

$\overline{CA}$ находим из треугольника $ACD:$ $\overline{CA}=\overline{CD}+\overline{DA}=\overline{CD}-\overline{AD}.$

Из условия  $|\overline{AB}|/|\overline{CD}|=\lambda$ находим вектор $\overline{CD}:$ $\overline{CD}=-\overline{AB}/\lambda.$

Таким образом, $\overline{CA}=-\overline{AB}/\lambda-\overline{AD};$

$\overline{CB}=-\overline{AB}/\lambda-\overline{AD}+\overline{AB}=\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)\overline{AB}-\overline{AD}.$

Ответ: $\left(1-\frac{1}{\lambda}; -1\right).$

2.36. Заданы векторы $e(-1, 1, 1/2)$ и $a(2, -2, -1).$ Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение вектора $a$ по базису $B(e). $ 

Решение. 

Векторы коллинеарны, если их направления совпадают или противоположны, т.е. тогда и только тогда когда их координаты пропорциональны. Проверим: $$\frac{-1}{2}=\frac{1}{-2}=\frac{1/2}{-1}=-\frac{1}{2},$$ то есть векторы $e$ и $a$ коллинеарны.

Найдем разложение вектора $a$ по базису $B(e),$ то есть найдем такое число $\lambda$ что $a=\lambda e:$

$$\left\{\begin{array}{lcl}2=-\lambda\\ -2=\lambda\\-1=\frac{1}{2}\lambda\end{array}\right.\Rightarrow \lambda=-2,$$

Отсюда $a=-2e.$

Ответ: $a=-2e.$

Домашнее задание.

2.28. Вне плоскости параллелограмма $ABCD$ взята точка $O.$ В базисе из векторов $\overline{OA}, \overline{OB}$ и $\overline{OC}$ найти координаты:

а) вектора $\overline{OM}$ , где $M$ точка пересечения диагоналей параллелограмма;

б) вектора $\overline{OK},$ где $K$- середина стороны $AD.$

 Ответ: а) $(1/2; 0; 1/2);$ б) $(1, -1/2, 1/2).$ 

2.31. В треугольнике $ABC$ $\overline{AK}=\alpha\overline{AB}; \overline{BM}=\beta\overline{BC};$ $\overline{CF}=\gamma\overline{CA}.$ Пусть $P, Q$ и $R -$ точки пересечения прямых $BF$ и $CK;$ $CK$ и $AM;$ $AM$ и $BF$ соответственно. В базисе из векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ найти координаты векторов $\overline{AP},$ $\overline{BQ}$ и $\overline{CR}.$

Ответ: $\overline{AP}\left(\frac{\alpha(1-\gamma)}{1-\alpha\gamma}; \frac{\gamma(1-\alpha)}{1-\alpha\gamma}\right);$ $\overline{BQ}\left(\frac{2\alpha\beta-\alpha-\beta}{1-\alpha\beta}; \frac{\beta(1-\alpha)}{1-\alpha\beta}\right);$ $\overline{CQ}\left(\frac{\beta(1-\gamma)}{1-\beta\gamma}; \frac{2\beta\gamma-\beta-\gamma}{1-\beta\gamma}\right).$

2.37. На плоскости заданы векторы $e_1(-1,2),$ $e_2(2,1)$ и $a(0,-2).$ Убедиться, что базис $B=e_1, e_2$ в множестве всех векторов на плоскости Построить заданные веткоры и найти разложение вектора $a$ по базису $B.$ 

Ответ: $a=-\frac{4}{5}e_1-\frac{2}{5}e_2.$

2.38. Показать, что тройка векторов $e_1(1,0,0), e_2(1,1,0)$ и $e_3(1,1,1)$ образуют базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора $a=-2i-k$ в базисе $B(e_1, e_2, e_3)$ и написать соответствующее разложение вектора по базису. 

Ответ: $a=-2e_1+e_2-e_3.$