Рейтинг:   / 25
ПлохоОтлично 

Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.  

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Условие параллельности двух плоскостей:

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1, C_1);$    

          $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2, C_2).$

Плоскости $P_1$ и $P_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{N}_1\parallel\overline{N}_2\Leftrightarrow$ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.$

 ploskost-parallel   

Условия перпендикулярности двух плоскостей:  

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1, C_1);$          

          $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2, C_2).$  

$P_1\perp P_2\Leftrightarrow$ $\overline{N}_1\perp\overline{N}_2\Leftrightarrow$ ${A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}+C_1\cdot C_2=0.$      

ploskost-perpend

Угол между плоскостями:  

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1, C_1);$            

          $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2, C_2).$

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=$ $\frac{\overline N_1\cdot \overline N_2}{|\overline N_1||\overline N_2|}=$ $\frac{{A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}+C_1\cdot C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$    

ploskost-ugol

 

Примеры.

В задачах исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом, в случае $P_1\parallel P_2$ то найти расстояние между плоскостями, а в случае - косинус угла между ними. 

2.185. $P_1: -x+2y-z+1=0;$ $P_2: y+3z-1=0.$

Решение.

Вычислим угол между заданными плоскостями.

$P_1: -x+2y-z+1=0, \Rightarrow\overline{N}_1=(-1, 2, -1);$

$P_2: y+3z-1=0, \Rightarrow\overline{N}_2=(0, 1, 3).$

Отсюда 

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=$ $\frac{\overline N_1\cdot \overline N_2}{|\overline N_1||\overline N_2|}=$ $\frac{-1\cdot 0+2\cdot1-1\cdot 3}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2+3^2}}=\frac{-1}{\sqrt{60}}=\frac{-1}{2\sqrt{15}}.$

Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2\sqrt{15}}.$

Ответ: Плоскости пересекаются. $\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2\sqrt{15}}.$

2.187. $P_1: x-y+1=0;$ $P_2: y-z+1=0.$

Решение.

Вычислим угол между заданными плоскостями.

$P_1: x-y+1=0, \Rightarrow\overline{N}_1=(1, -1, 0);$

$P_2: y-z+1=0, \Rightarrow\overline{N}_2=(0, 1, -1).$

Отсюда 

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=$ $\frac{\overline N_1\cdot \overline N_2}{|\overline N_1||\overline N_2|}=$ $\frac{1\cdot 0+(-1)\cdot1+0\cdot (-1)}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2+0^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{-1}{\sqrt{4}}=\frac{-1}{2}.$

Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2}.$

Ответ: Плоскости пересекаются. $\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2}.$

 

2.196. Составить уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $A(1, 1, -1)$ и перпендикулярной к плоскостям $P_1: 2x-y+5z+3=0$ и $P_2: x+3y-z-7=0.$

Решение.

Для того, чтобы плоскость $P$ была перпендикулярно плоскостям $P_1$ и $P_2,$ достаточно, чтобы она была параллельна их нормалям $N_1$ и $N_2.$ Или, что тоже самое, перпендикулярна векторному произведению $[N_1, N_2]$

$P_1: 2x-y+5z+3=0, \Rightarrow\overline{N}_1=(2, -1, 5);$

$P_2: x+3y-z-7=0, \Rightarrow\overline{N}_2=(1, 3, -1).$

$[N_1, N_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-1&5\\1&3&-1\end{vmatrix}=i(1-15)-j(-2-5)+k(6+1)=$ $=-14i+7j+7k.$

Теперь выпишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $A(1, 1, -1)$  и перпендикулярной вектору $[N_1, N_2]=(-14, 7, 7):$

$-14(x-1)+7(y-1)+7(z+1)=0  |:7$

$-2(x-1)+y-1+z+1=0$

$-2x+y+z+2=0.$

Ответ: $-2x+y+z+2=0.$

 

 

Домашнее задание.

 

В задачах исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом, в случае $P_1\parallel P_2$ то найти расстояние между плоскостями, а в случае - косинус угла между ними. 

2.186. $P_1: 2x-y+z-1=0;$ $P_2: -4x+2y-2z-1=0.$

2.188. $P_1: 2x-y-z+1=0;$ $P_2: -4x+2y+2z-2=0.$

 

 

Комментарии   

 
0 #1 Татьяна 09.12.2014 14:57
Просто и понятно! Спасибо! :-)
Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить