Рейтинг:   / 27
ПлохоОтлично 

Примеры:

2.141.

а) Прямая $L$ задана точкой $M_0(-1; 2)\in L$ и нормальным вектором $\overline N(2; 2).$ Требуется: 1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

Решение.

Подставим в формулу 6) для уравнения прямых ($A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$) соответственно координаты точки $(x_0; y_0)=M_0(-1; 2)$  и вектора $(A; B)=\overline N(2; 2):$

$2(x+1)+2(y-2)=0.$ Далее, приведем это уравнение к общему виду:

$2x+2+2y-4=0\Rightarrow$

$2x+2y-2=0\Rightarrow$

$x+y-1=0.$

Нормальное уравнение прямой имеет вид $x\cos\alpha+y\cos\beta-p=0,$ где $\cos\alpha$ и $\cos\beta -$ направляющие косинусы нормального вектора $n,$ направленного из начала координат в сторону прямой, а $p>0 -$ расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Для нашей прямой имеем $A=1; B=1; C=-1 \Rightarrow sgn C=-1.$ Таким образом, $\mu=-\frac{-1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Запишем нормальное уравнение прямой:

$x+y-1=0   |\cdot\frac{1}{\sqrt 2}\Rightarrow$

$\frac{1}{\sqrt 2}x+\frac{1}{\sqrt 2}y-\frac{1}{\sqrt 2}=0.$

Расстояние от начала координат $p=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Ответ: $2(x+1)+2(y-2)=0;$ общее уравнение $x+y-1=0;$ нормальное уравнение прямой $\frac{1}{\sqrt 2}x+\frac{1}{\sqrt 2}y-\frac{1}{\sqrt 2}=0;$ $p=\frac{1}{\sqrt 2}.$

 

 

2.142.

а) Прямая $L$ задана точкой $M_0(-1; 2)\in L$ и направляющим вектором $\overline S(3; -1).$ Требуется: 1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

 Решение.

Подставим в формулу 5) для уравнения прямых ($\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$) соответственно координаты точки $(x_0; y_0)=M_0(-1; 2)$  и вектора $(l; m)=\overline S(3; -1):$ $\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-1}$

 Далее, приведем это уравнение к общему виду:

 $-1(x+1)=3(y-2)\Rightarrow$

 $-x-1-3y+6=0\Rightarrow$

 $x+3y-5=0.$

Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Для нашей прямой имеем $A=1; B=3; C=-5 \Rightarrow sgn C=-1.$ Таким образом, $\mu=-\frac{-1}{\sqrt{1+9}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$

Запишем нормальное уравнение прямой:

$x+y-1=0   |\cdot\frac{1}{\sqrt {10}}\Rightarrow$

$\frac{1}{\sqrt {10}}x+\frac{3}{\sqrt {10}}y-\frac{5}{\sqrt {10}}=0.$

Расстояние от начала координат $p=\frac{5}{\sqrt {10}}.$

Ответ: $\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-1};$  общее уравнение $x+3y-5=0;$ нормальное уравнение прямой $\frac{1}{\sqrt {10}}x+\frac{3}{\sqrt {10}}y-\frac{5}{\sqrt {10}}=0;$ $p=\frac{5}{\sqrt {10}}.$

 

2.143.

а) Прямая $L$ задана двумя своими точками $M_1(1; 2)\in L$ и $M_2(-1; 0)\in L.$ Требуется: 1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

  Решение.

Подставим в формулу 3) для уравнения прямых ($\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$) соответственно координаты точек $M_1(1; 2)=(x_1; y_1) и $M_2(-1; 0)=(x_2; y_2):$ $\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-2}{0-2}\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-2}.$

 Далее, приведем это уравнение к общему виду:

 $-2(x-1)=-2(y-2)\Rightarrow$

 $x-1=y-2\Rightarrow$

 $x-y+1=0.$

Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Для нашей прямой имеем $A=1; B=-1; C=1 \Rightarrow sgn C=1.$ Таким образом, $\mu=-\frac{1}{\sqrt{1+1}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Запишем нормальное уравнение прямой:

$x-y+1=0   |\cdot-\frac{1}{\sqrt {2}}\Rightarrow$

$-\frac{1}{\sqrt {2}}x+\frac{1}{\sqrt {2}}y-\frac{1}{\sqrt {2}}=0.$

Расстояние от начала координат $p=\frac{1}{\sqrt {2}}.$

 

Ответ: $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-2};$  общее уравнение $x-y+1=0;$ нормальное уравнение прямой $-\frac{1}{\sqrt {2}}x+\frac{1}{\sqrt {2}}y-\frac{1}{\sqrt {2}}=0;$ $p=\frac{1}{\sqrt {2}}.$

 

2.150. Треугольник  $ABC$ задан координатами своих вершин $A(1; 2), B(2; -2), C(6; 1).$ Требуется:

1) Найти уравнение стороны $AB;$

2) найти уравнение высоты $CD$ и вычислить ее длину $h=|CD|;$

3) найти угол между высотой $CD$ и медианой $BM.$

Решение.

Сделаем рисунок:

ABC1

1) Уравнение прямой $AB$ найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}. $

В нашем случае $(x_1; y_1)=A(1; 2);$ $(x_2; y_2)=B(2; -2).$

Подставляем координаты точек в уравнение прямой. Получаем $$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y-2}{-2-2}\Rightarrow x-1=\frac{y-2}{-4}.$$ Запишем общее уравнение прямой $AB$:

$-4(x-1)=y-2\Rightarrow$ $-4x+4=y-2\Rightarrow$ $4x+y-6=0.$

2) Уравнение прямой $CD$ найдем, пользуясь уравнением (6): $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ - уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B).$

В нашем случае, высота $CD$ это прямая, которая проходит через точку $C$ перпендикулярно вектору $AB.$

Таким образом, $$(x_0; y_0)=C=(6; 1);\quad\overline{N}=\overline{AB}=(2-1; -2-2)=(1; -4).$$

Подставляем эти координаты в уравнение прямой:

$1(x-6)-4(y-1)=0\Rightarrow x-6-4y+4=0 \Rightarrow x-4y-2=0.$

То есть, уравнение прямой $CD:$ $x-4y-2=0.$ 

 

Чтобы найти длину высоты $h=|CD|,$ найдем координаты точки $D,$ как точки пересечения прямых $CD$ и $AB:$

$\left\{\begin{array}{lcl}x-4y-2=0\\4x+y-6=0.\end{array}\right. $

Решим систему методом исключений:

$\left\{\begin{array}{lcl}x-4y-2=0\\4x+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=4y+2\\4x+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{lcl}x=4y+2\\4(4y+2)+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=4y+2\\16y+8+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$ 

$\left\{\begin{array}{lcl}x=-8/17+2=26/17\\y=-2/17.\end{array}\right. .$

Следовательно имеем $D(26/17; -2/17).$ Теперь можем найти длину высоты $CD:$

$h=|CD|=\sqrt{(x_d-x_c)^2+(y_d-y_c)^2}=\sqrt{(26/17-6)^2+(-2/17-1)^2}=$ $\sqrt{\left(\frac{26-102}{17}\right)^2+\left(\frac{-2-17}{17}\right)^2}=\sqrt{\frac{76^2+19^2}{17^2}}=\sqrt{\frac{6137}{17^2}}=\frac{19}{17}\sqrt{17}=\frac{19}{\sqrt{17}}.$

3) Уравнение высоты $CD$ мы уже нашли в пункте 2). Найдем уравнение медианы $BM.$ Будем его искать, используя форумулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Координаты точки $B=(2, -2); $ координаты точки $M$ найдем как середину стороны $AC:$ $x_M=\frac{x_A+x_C}{2}; y_M=\frac{y_A+y_C}{2}.$

$x_M=\frac{1+6}{2}=3.5;$    $y_M=\frac{2+1}{2}=1.5.$

Подставляем координаты точек $B(2; -2)$ и $M(3.5; 1.5)$ в уравнение прямой

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}:$

$\frac{x-2}{3.5-2}=\frac{y-(-2)}{1.5-(-2)}\Rightarrow \frac{x-2}{1.5}=\frac{y+2}{3.5}\Rightarrow$

$3.5(x-2)=1.5(y+2)\Rightarrow 3.5x-7=1.5y+3 \Rightarrow 3.5x-1.5y-10=0.$

Далее, зная общие уравнения двух прямых $CD: x-4y-2=0$ и  $BM: 3.5x-1.5y-10=0$ можно найти угол между ними по формуле 

$\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{{A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2}},$

где $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

     $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

Для наших прямых имеем: $(A_1, B_1)=(1; -4);$ $(A_2; B_2)=(3.5; -1.5).$

Отсюда 

$\cos\widehat{(CD, BM)}=$ $\frac{{1}\cdot{3.5}+{(-4)}\cdot{(-1.5)}}{\sqrt{1^2+(-4)^2}\cdot\sqrt{3.5^2+(-1.5)^2}}=\frac{9.5}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{14.5}}=\frac{19}{\sqrt{986}}.$

 Ответ:  1) $AB: 4x+y-6=0.$

              2) $CD:$ $x-4y-2=0; $  $h=|CD|=\frac{19}{\sqrt{17}};$

              3) $\cos\widehat{(CD, BM)}=$ $\frac{19}{\sqrt{986}}.$

 

2.160. В равнобедренном треугольнике $ABC$ заданы вершина $C(4; 3),$ уравнение $2x-y-5=0$ основания $AC$ и уравнение $x-y=0$ боковой стороны $AB.$ Найти уравнение стороны $BC.$

Решение.

Найдем координаты вершины треугольника $A,$ как точки пересечения прямых $AB$ и $AC:$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\2x-y-5=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\2y-y-5=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\y=5\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=5\\y=5\end{array}\right. $$

Таким образом, мы имеем координаты вершин при основании равнобедренного треугольника $A(5; 5)$ и $C(4; 3).$ Найдем координаты вершины $B(x, y).$ Мы знаем, что эта точка принадлежит прямой $AB: x-y=0$ и что $AB=BC.$ Запишем формулы для длин сторон $AB$ и $BC:$

$|AB|=\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2};$

$|BC|=\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2}.$

Далее, чтобы найти координаты точки $B,$ решим систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2}\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\x^2-10x+25+y^2-10y+25=x^2-8x+16+y^2-6y+9\end{array}\right.\Rightarrow $$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\-2x-4y+25=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\-2y-4y+25=0\end{array}\right.\Rightarrow $$

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\y=\frac{25}{6}.\end{array}\right.$$ Мы нашли координаты точки $B\left(\frac{25}{6}, \frac{25}{6}\right).$

Зная координаты точек $B$ и $C$ можно записать уравнение прямой $BC,$ как прямой проходящей через две точки $\left(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} \right):$

 $$\frac{x-4}{\frac{25}{6}-4}=\frac{y-3}{\frac{25}{6}-3}\Rightarrow \frac{x-4}{\frac{25-24}{6}}=\frac{y-3}{\frac{25-18}{6}}\Rightarrow $$

$$\Rightarrow\frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{7}\Rightarrow 7x-28=y-3\Rightarrow 7x-y-25=0.$$

Ответ: $7x-y-25=0.$ 

  

2.165. Даны две противоположные вершины квадрата $A(1; 3)$ и $C(-1; 1).$ Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон.

Решение: 

Найдем уравнение диагонали $AC:$ 

$\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-3}{1-3} \Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{-2}\Rightarrow x-y+2=0.$

Найдем ее середину: $$x_O=\frac{x_A+x_C}{2}; y_O=\frac{y_A+y_C}{2}.$$

$$x_O=\frac{1-1}{2}=0;\,\,\, y_O=\frac{3+1}{2}=2\,\, \Rightarrow\,\,  O=(0; 2).$$

Далее, найдем уравнение второй диагонали квадрата -- прямой, проходящей через точку $O$ перпендикулярно прямой $AC.$ Для прямой $AC$ нормальный вектор имеет координаты $\overline{N}=(1; -1).$ Прямая, перпендикулярная прямой $AC$ является параллельной нормальному вектору $\overline{N}$. Таким образом, уравнение прямой $BD$ запишем по формуле 5) $\left(\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}\right),$ где $(x_0, y_0)=O(0; 2),$ $(l, m)=\overline{N}=(1, -1):$

$$\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}\Rightarrow x=-y+2 \Rightarrow x+y-2=0.$$

Ясно, что $AO=CO=BO=DO.$ Найдем длину отрезка $AO:$ $AO=\sqrt{(0-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}.$

Далее, будем искать координаты точек $B$ и $D,$ принадлежащих прямой $BD$ и таких, что $BO=DO=AO.$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x+y-2=0\\\sqrt{(0-x)^2+(2-y)^2}=\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\\sqrt{(y-2)^2+(2-y)^2}=\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\|2-y|\sqrt{2}=\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\|2-y|=1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\\left[\begin{array}{lcl}2-y_1=1\\2-y_2=-1\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow$$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\\left[\begin{array}{lcl}y_1=1\\y_2=3\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}\left[\begin{array}{lcl}x_1=1\\x_2=-1\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{lcl}y_1=1\\y_2=3\end{array}\right.\end{array}\right.$

Таким образом, мы нашли координаты вершин $B(1; 1)$ и $D(-1; 3).$ Зная координаты вершин квадрата, запишем уравнения его сторон, пользуясь формулой (3) -  $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} $ - уравнение прямой, которая проходит через две точки $M(x_1, y_1)$ и $N(x_2, y_2).$ 

$A(1; 3),$ $B(1; 1),$ $C(-1; 1),$ $D(-1; 3).$

$AB:$ $\frac{x-1}{1-1}=\frac{y-3}{1-3}\Rightarrow\frac{x-1}{0}=\frac{y-3}{-2}\Rightarrow $ $-2(x-1)=0\Rightarrow x=1.$

$BC:$ $\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-1}{1-1}\Rightarrow\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{0}\Rightarrow $ $0(x-1)=-1(y-1)\Rightarrow y=1.$

$CD:$ $\frac{x+1}{-1+1}=\frac{y-1}{3-1}\Rightarrow\frac{x+1}{0}=\frac{y-1}{2}\Rightarrow $ $2(x+1)=0(y-1)\Rightarrow x=-1.$

$DA:$ $\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-3}{3-3}\Rightarrow\frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{0}\Rightarrow $ $0(x-1)=-2(y-3)\Rightarrow y=3.$

 

Ответ: $A(1; 3),$ $B(1; 1),$ $C(-1; 1),$ $D(-1; 3);$ $AB:$ $x=1;$ $BC:$ $y=1;$ $CD:$ $x=-1;$ $DA:$ $y=3.$ 

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить