Рейтинг:   / 27
ПлохоОтлично 

Расположение двух прямых на плоскости.

Условия параллельности двух прямых:

1) Пусть $L_1: k_1x+b_1,$ $k_1=tg\alpha_1;$

              $L_2: k_2x+b_2,$ $k_2=tg\alpha_2.$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $k_1=k_2.$

parallel1

2) Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1},$ $\overline{S}_1=(l_1, m_1);$

            $L_2:$ $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2},$ $\overline{S}_2=(l_2, m_2).$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{S}_1\parallel\overline{S}_2\Leftrightarrow$ $\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}.$

parallel2

3) Пусть $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

            $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{N}_1\parallel\overline{N}_2\Leftrightarrow$ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}.$

parallel3

 Условия перпендикулярности двух прямых:

1) Пусть $L_1: k_1x+b_1,$ $k_1=tg\alpha_1;$

               $L_2: k_2x+b_2,$ $k_2=tg\alpha_2.$

 $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$  $k_1\cdot k_2=-1.$

  perp1

2) Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1},$ $\overline{S}_1=(l_1, m_1);$

           $L_2:$ $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2},$ $\overline{S}_2=(l_2, m_2).$

$L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline{S}_1\perp\overline{S}_2\Leftrightarrow$  ${l_1}\cdot{l_2}+{m_1}\cdot{m_2}=0.$

perp2

3) Пусть $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

             $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

$L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline{N}_1\perp\overline{N}_2\Leftrightarrow$ ${A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}=0.$

perp3

 Угол между прямыми:

 1) Пусть $L_1: k_1x+b_1,$ $k_1=tg\alpha_1;$

                $L_2: k_2x+b_2,$ $k_2=tg\alpha_2.$

$tg\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}.$

 ugol1

2) Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1},$ $\overline{S}_1=(l_1, m_1);$

            $L_2:$ $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2},$ $\overline{S}_2=(l_2, m_2).$

$\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{{l_1}\cdot{l_2}+{m_1}\cdot{m_2}}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}\cdot\sqrt{l_2^2+m_2^2}}.$

  ugol2

3) Пусть $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

            $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

$\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{{A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.$

ugol3

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить