Рейтинг:   / 15
ПлохоОтлично 

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Если в действительном линейном пространстве $L_n$ фиксирован некоторый базис $B=(e_1, ..., e_n),$ то квадратичная форма $A(x, x)$ в этом базисе имеет вид $$A(x, x)=\sum\limits_{i, j=1}^n a_{i,j}x_ix_j,$$ где $$A=(a_{ij})=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$ - матрица квадратичной формы и $x=x_1e_1+...+x_ne_n.$

Квадратичная форма $A(x, x),$ определенная в действительном линейном пространстве $L_n,$ называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого $x\in L_n\,\,\, (x\neq 0)$ $$A(x, x)>0 \qquad (<0).$$  

Пусть $A=(a_{ij}) - $ матрица квадратичной формы $A(x, x)$ и $$D_1=a_{11}, \quad D_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},\,\,\cdots,\,\, D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} -$$ последовательность главных миноров матрицы $A.$  

Критерием положительной определенности квадратичной формы является следуещее утверждение (критерий Сильвестра): для того, чтобы квадратичная форма $A(x, x)$ была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы $A$ были положительны, то есть $D_k>0,\,\,k=1, 2, \cdots, n.$

Можно доказать, что для того, чтобы квадратичная форма $A(x, x)$ была отрицательно определнной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства $(-1)^kD_k>0,\,\,k=1, 2, \cdots, n.$

Примеры.

В следующих задачах определить, какие квадратичные формы являются положительно или отрицательно определенными, а какие - нет.

4.218. $x_1^2+26x_2^2+10x_1x_2.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=\begin{pmatrix}1&5\\5&26\end{pmatrix}.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

$$D_1=1>0,$$

$$D_2=\begin{vmatrix}1&5\\5&26\end{vmatrix}=1\cdot 26-5\cdot 5=1>0.$$

Таким образом, все главные миноры ее матрицы $A$ были положительны, а это значит, что заданная квадратичная форма положительно определенная.

Ответ: положительно определенная.

 

4.219.$-x_1^2+2x_1x_2-4x_2^2.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-4\end{pmatrix}.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

$$D_1=-1<0,$$

$$D_2=\begin{vmatrix}-1&1\\1&-4\end{vmatrix}=-1\cdot (-4)-1\cdot 1=3>0.$$

Таким образом, выполняются неравенсва $(-1)^kD_k>0,\,\,k=1, 2, \cdots, n,$ то есть заданная квадратичная форма отрицательно определенная.

Ответ:отрицательно определенная.

 

4.223.$2x_4^2+x_1x_2+x_1x_3-2x_2x_3+2x_2x_4.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=\begin{pmatrix}0&0,5&0,5&0\\0,5&0&-1&1\\0,5&-1&0&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

$$D_1=0,$$

Следовательно, квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной.

Ответ: общего вида.

 

 

Домашнее задание.

В следующих задачах определить, какие квадратичные формы являются полопжительно или отрицательно определенными, а какие - нет.

4.220.$x_1^2-15x_2^2+4x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3.$

Ответ: общего вида.

 

4.221.$12x_1x_2-12x_1x_3+6x_2x_3-11x_1^2-6x_2^2-6x_3^2.$

Ответ: отрицательно определенная.

 

4.222.$9x_1^2+6x_2^2+6x_3^2+12x_1x_2-10x_1x_3-2x_2x_3.$

Ответ: положительно определенная.

 

4.224.$x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+8x_4^2+8x^2x_4.$

Ответ:  положительно определенная.

 

 

 

 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить