Математическая логика и теория множеств
Рейтинг: 4 / 5
Логическая символика. Необходимые и достаточные условия.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пусть $\alpha, \beta, ... -$ некоторые высказывания, или утверждения, то есть повествовательные предложения, про каждое из которых можно сказать истино оно или ложно.
Запись $\overline{\alpha}$ означает "не $\alpha$", то есть отрицание утверждения $\alpha.$
Запись ${\alpha}\Rightarrow\beta$ означает "из утверждения $\alpha$ следует утверждение $\beta$". ($\Rightarrow -$ символ импликации).
Запись ${\alpha}\Leftrightarrow\beta$ означает "Утверждение $\alpha$ эквивалентно утверждению $\beta$", то есть из $\alpha$ следует $\beta,$ а из $\beta$ следует $\alpha $ ("$\Leftrightarrow-$ " символ эквивалентности).
Запись ${\alpha}\wedge\beta$ означает "$\alpha$ и $\beta$" ($\wedge -$ символ коньюнкции).
Запись ${\alpha}\vee\beta$ означает "$\alpha$ или $\beta$" ($\vee -$ символ дизьюнкции).
Запись $\forall x\in X\,\,\,\alpha$ означает "для любого элемента $x\in X$ справедливо утверждение $\alpha$" ($\forall -$ квантор всеобщности).
Запись $\exists x\in X\,\,\,\alpha$ означает "существует элемент $x\in X$ для которого справедливо утверждение $\alpha$" ($\exists -$ квантор существования).
Запись $\exists ! x\in X\,\,\,\alpha$ означает "существует единственный элемент $x\in X$ для которого справедливо утверждение $\alpha.$"
Примеры.
Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл и установить истинны они или ложны (символами $x,\, y,\, z,\, a,\, b,\, c$ обозначены действительные числа).
1.83. a) $\forall x\,\exists y\, (x+y=3).$
Решение.
Запись $\forall x\,\exists y\, (x+y=3)$ означает, что для любого элемента $x$ существует такой элемент $y,$ для которого выполняется равенство $x+y=3.$
Это утверждение истинно. Действительно, для любого элемента $x$ существует такой элемент $y$ и он равен $3-x.$
Ответ: высказывание истинно.
1.87. $\forall x(x^2>x\Leftrightarrow x>1\vee x<0).$
Решение.
Запись $\forall x(x^2>x\Leftrightarrow x>1\vee x<0)$ означает, что для любого элемента $x$ утверждение $x^2>x$ верно в том и только том случае, когда выполняется либо условие $x>1,$ либо условие $x<0.$ Проверим истинность этого высказывания.
Если в неравенстве $x^2>x\,\,$ $x=0,$ то выполняется неравенство $0>0,$ что неверно. Следовательно, $x\neq 0.$
Разделим обе части неравенства $x^2>x$ на $x.$ Тогда $x>1$ если $x>0$ и $x<1$ если $x<0.$ Возьмем пересечения полученных множеств $(x>1)\cap (x>0)$ и $(x<1)\cap (x<0).$
Получаем, что либо $x>1,$ либо $x<0.$ Что и требовалось доказать.
Ответ: высказывание истинно.
1.88. $\forall x (x>2\wedge x>3\Leftrightarrow 2<x\leq 3).$
Решение.
Запись $\forall x (x>2\wedge x>3\Leftrightarrow 2<x\leq 3)$ означает, что для любого элемента $x$ утверждение "$x>2$ и $x>3$" верно в том и только том случае, когда выполняется условие $2<x\leq 3.$ Проверим истинность этого высказывания.
Множество элементов $x$ для которых одновременно выполняются условия $x>2$ и $x>3$ это пересечение множеств $(2,\, \infty)\cap(3,\, \infty)=(3, \,\infty). $ А условие $2<x\leq 3$ соответствует выражению $x\in(2, \,3].$ Очевидно, что полученные множества не совпадают. То есть выражение $\forall x (x>2\wedge x>3\Leftrightarrow 2<x\leq 3)$ ложно.
Ответ: высказывание ложно.
Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и записать их с использованием логической символики, сформулировать и записать их отрицания.
1.92.(а). Число $x_0$ есть решение уравнения $f(x)=0.$
Решение.
Утверждение "Число $x_0$ есть решение уравнения $f(x)=0$" озанчает, что в точке $x_0$ функция $f(x)$ принимает значение $0.$ С помощью логической символики это можно записать как $f(x_0)=0.$
Отрицание: в точке $x_0$ функция $f(x)$ не принимает значение $0$ или $f(x_0)\neq 0.$
Ответ: $f(x_0)=0,$ $f(x_0)\neq 0.$
1.93.(б). Число $m$ есть наименьший элемент множества $X.$
Решение.
Данное высказывание означает, что число $m$ приндлежит множеству $X$ и все другие элементы множества $X$ больше либо равны $m.$ Запишем это с помощью логической символики: $(m\in X)\wedge(\forall x\in X (m\leq x)).$
Отрицание: число $m$ не приндлежит множеству $X$ либо существует элемент множества $X$ который меньше чем $m.$ Запишем это с помощью логической символики:
$(m\notin X)\vee (\exists x\in X (x<m)).$
Ответ: $(m\in X)\wedge(\forall x\in X (m\leq x)),$ $(m\notin X)\vee (\exists x\in X (x<m)).$
1.94.(а). Число $m\in Z$ является делителем числа $n\in Z$ или в краткой записи $m|n.$
Решение.
Данное высказывание означает, что существует такое целое число $k,$ что $km=n.$ Запишем это с помощью логической символики:
$\exists k\in Z (km=n).$
Отрицание: для любого целого числа $k,$ что $km\neq n.$ Или $\forall k\in Z (km\neq n).$
Ответ: $\exists k\in Z (km=n),$ $\forall k\in Z (km\neq n).$
Домашнее задание:
Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл и установить истинны они или ложны (символами $x,\, y,\, z,\, a,\, b,\, c$ обозначены действительные числа).
1.83. б) $\exists y\,\forall x\,\, (x+y=3).$
Ответ: высказывание ложно.
в) $\exists x,\, y\,\, (x+y=3).$
Ответ: высказывание истинно.
г) $\forall x\, y\, (x+y=3).$
Ответ: высказывание ложно.
1.84. $\exists x,\, y\,\,(x>y>0\,\wedge\, x+y=0).$
Ответ: высказывание ложно.
1.85.$\forall x, y\,\, (x<y)\,\Leftrightarrow\,\exists \,z\, (x<z<y).$
Ответ: высказывание истинно.
1.86.$\forall x, y\,\, (x^2\neq 2y^2).$
Ответ: высказывание ложно.
1.89.$\exists x\,\, (\sqrt {x^2}<x).$
Ответ: высказывание ложно.
Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и записать их с использованием логической символики, сформулировать и записать их отрицания.
1.92.
б) Число $x_0$ есть единственное решение уравнения $f(x)=0.$
Ответ: $f(x_0)=0\wedge\forall x (x\neq x_0\Rightarrow f(x_0)\neq 0);$ $f(x_0)\neq 0\vee (f(x_0)=0\wedge\exists x (x\neq x_0\,\wedge f(x)=0)).$
в) Уравнение $f(x)=0$ имеет единственное действительное решение.
Ответ: $\exists x_0(f(x_0)=0)\wedge\forall x (x\neq x_0\Rightarrow f(x)\neq 0);$ $\forall x (f(x)\neq 0)\vee (\exists x_1, x_2(x_1\neq x_2\wedge f(x_1)=f(x_2)=0)).$
1.93.
а)Множество $X\subset R$ ограничено сверху.
Ответ: $\exists M \forall x\in X (x\leq M),$ $\forall M \exists x\in X (x>M).$
в)Множество $X$ имеет наименьший элемент.
Ответ: $(\exists m\in X)\wedge(\forall x\in X (m\leq x)),$ $\forall x'\in X\, \exists x\in X \,\,(x<x').$
1.94.
б) Если число $n\in Z$ делится на $ 2$ и на $3,$ то оно делится на $6.$
Ответ: $(2\mid n\vee 3\mid n)\Rightarrow 6\mid n; $ $(2\mid n\vee 3\mid n)\Rightarrow 6\nmid n. $
в) Число $p\in N $ простое.
Ответ: $\forall n\in N (n\mid p\Rightarrow (n=1\vee n=p));$ $\exists n\in N (n\mid p\wedge (n\neq 1\vee n\neq p)).$
Рейтинг: 4 / 5
Множества, операции над множествами.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Под множеством понимается любая совокупность некоторых объектов. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначают большими буквами, а элементы - маленькими.
То что элемент $a$ принадлежит множеству $A$ (то есть является элементом множества $A$) записывают так $a\in A,$ а то что элемент $b$ не принадлежит множеству $A$ (не является его элементом) записывают так $b\notin A.$
Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом $\emptyset.$
Запись $A\subset B $ ($A$ содержится в $B$) означает, что каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B;$ в этом случае множество $A$ называется подмножеством множества $B.$ Множества $A$ и $B$ называют равными $(A=B),$ если $A\subset B$ и $B\subset A.$
Существует два основных способа задания (описания) множеств.
а) Множество $A$ определяется непосредственным перечислением всех своих элементов $a_1, a_2, ..., a_n,$ то есть записывается в виде $$A=\{a_1, a_2, ..., a_n\}.$$
Например множество простых чисел от 10 до 20 можно записать так: $\{11, 13, 17, 19\}.$
б) Множество $A$ определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества $T,$ которые обладают общим свойством $\alpha.$ В этом случае используется обозначение $$A=\{x\in T|\alpha(x)\},$$ где запись $\alpha(x)$ означает, что элемент $x$ обладает свойством $\alpha.$
Например $[0, 1)=\{x\in R| 0\leq x<1\}.$
Объеденением множеств $A$ и $B$ называется множество $$A\cup B=\{x|(x\in A)\vee (x\in B)\}$$
Пересечением множеств и называется множество $$A\cap B=\{x|(x\in A)\wedge (x\in B)\}$$
Операции объеденения и пересечения обладают следующими свойствами:
1) коммутативности
$$A\cup B=B\cup A;\qquad A\cap B=B\cap A;$$
2) ассоциативности
$$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C; (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C);$$
3) дистрибутивности
$$(A\cup B)\cap C= (A\cap C)\cup(B\cap C);\quad (A\cap B)\cup C= (A\cup C)\cap(B\cup C);$$
4) идемпотентности
$$A\cup A=A;\quad A\cap A=A.$$
Множество, стостоящее из всех элементов множества $A,$ не принаждлежащих множеству $B,$ называется разностью множеств $A$ и $B:$ $$A\setminus B=\{x|(x\in A)\wedge (x\notin B)\}.$$
Если $A\subset B$ , то $B\setminus A$ называют дополнением множества $A$ до множства $B:\,\, A_B'.$
Если, в частности, $A -$ подмножество некоторого универсального множества $U,$ то разность $U\setminus A$ обозначается символом $\overline A$ или $A'$ и называется дополнением множества $A$ (до множества $U$).
Из определения дополнения множества следуют равенства $$A\cup A' =U;\quad A\cap A' =\emptyset,\quad (A')'=A.$$
Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называют множество $A\Delta B,$ состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B,$ то есть $$A\Delta B =(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$$
Для любых подмножеств $A$ и $B$ множества $U$ справедливы следующие равенства, которые называют законами двойственности или законами де Моргана: $$(A\cup B)'=A'\cap B';\quad (A\cap B)'=A'\cup B'.$$
Примеры:
Доказать справдливость равенств
1) $(A\cap B)'=A'\cup B'$
Доказательство.
$x\in(A\cap B)' \Leftrightarrow x\notin (A\cap B)\Leftrightarrow x\notin A\vee x\notin B \Leftrightarrow $ $x\in A'\vee x\in B' \Leftrightarrow$
$ x\in (A'\cup B')\Leftrightarrow (A\cap B)'= A'\cup B'. $
Что и требовалось доказать.
{jumi[*4]}
2) $(A\setminus B)\setminus C =A\setminus (B\cup C).$
Доказательство.
$x\in (A\setminus B)\setminus C \Leftrightarrow a\in A\setminus B \wedge a\notin C \Leftrightarrow (a\in A \wedge a\notin B)\wedge a\notin C\Leftrightarrow $
$\Leftrightarrow a\in A \wedge (a\notin B \wedge a\notin C)\Leftrightarrow a\in A \wedge a\notin (B\cup C)\Leftrightarrow a\in A\setminus(B\cup C).$
Что и требовалось доказать.
3) $A\setminus (A\setminus B)=A\cap B.$
Доказательство.
$a\in A\setminus(A\setminus B)\Leftrightarrow (a\in A)\wedge (a\notin A\setminus B)\Leftrightarrow $
$(a\in A) \wedge ((a\notin A)\vee (a\in B))\Leftrightarrow $
$((a\in A)\wedge(a\notin A))\vee((a\in A)\wedge(a\in B))\Leftrightarrow $
$(a\in A) \wedge (a\in B) \Leftrightarrow a\in A\cap B.$
Что и требовалось доказать.
4) $A\cup(B\setminus C)\supset (A\cup B)\setminus C.$
Доказательство.
$a\in (A\cup B)\setminus C\Leftrightarrow (a\in A \vee a\in B)\wedge a\notin C \Leftrightarrow$
$ (a\in A \wedge a\notin C)\vee(a\in B\wedge a\notin C)\Rightarrow (a\in A )\vee(a\in B\wedge a\notin C)\Leftrightarrow$
$ a\in A\cup(B\setminus C).$
Что и требовалось доказать.
1.28. (a)
Установить, какая из двух записей верна:
$\{1, 2\}\in\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}$ и $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}.$
Решение.
Запись $\{1, 2\}\in\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}$ означает, что эелемент $\{1, 2\}$ содержится в множестве, состоящем из трех элементов $\{1\},$ $\{2\},$ и $\{\{1, 2, 3\}\}.$ Очевидно элемента $\{1, 2\}$ среди данных трех элементов нет. Поэтому такая запись не верна.
Запись $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}$ означает, что все элементы множества $\{1, 2\}$ (то есть $\{1\},$ и $\{2\}$ ) содержатся в множестве $\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}.$ Последнее множество состоит из элементов $\{1\},$ $\{2\},$ и $\{\{1, 2, 3\}\},$ поэтому данная запись верна.
Ответ: $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2, 3\}\}.$
В задачах 1.29, 1.30 заданные множества задать перечислением всех своих элементов
1.29. $A=\{x\in R| x^3-3x^2+2x=0\}.$
Решение.
Найдем множество действительных решений уравнения $x^3-3x^2+2x=0:$
$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=0\Rightarrow$
$\Rightarrow x_1=0.$
Решим квадратное уравнение $x^2-3x+2=0.$
$D=3^2-4\cdot 2=1.$
$$x_2=\frac{3+1}{2}=2,\qquad\quad x_3=\frac{3-1}{2}=1.$$
Все корни уравнения действительные, поэтому запишем ответ:
Ответ: $\{0, 1, 2\}.$
1.30. $A=\{x\in R| x+\frac{1}{x}\leq 2,\,\,\, x>0\}.$
Решение.
Решим неравенство $x+\frac{1}{x}\leq 2:$
$\frac{x^2+1}{x}\leq\frac{2x}{x}.$
Поскольку $x>0,$ то $x^2+1\leq 2x.$ Решим квадратное уравнение
$x^2-2x+1=0\Rightarrow (x-1)^2=0\Rightarrow x_{1, 2}=1.$
Так как $y=x^2-2x+1$ это парабола, направленная осями вверх, то при всех остальных значениях $x,$ функция будет положительна.
Таким образом решение неравенства $x+\frac{1}{x}\leq 2$ при условии $x>0:$
$x=1.$
Ответ: $\{1\}.$
Домашнее задание.
1.28 (б)
Установить, какая из двух записей верна:
$\{1, 2\}\in\{1, 2, \{1, 2\}\}$ и $\{1, 2\}\subset\{1, 2, \{1, 2\}\}.$
Ответ: обе записи верны.
В задачах 1.31, 1.32 заданные множества задать перечислением всех своих элементов
1.31. $A=\{x\in N| x^2-3x-4\leq 0\}.$
Ответ: $A=\{1,\, 2,\, 3,\, 4\}. $
1.32. $A=\{x\in Z| \frac{1}{4}\leq 2^x<5\}.$
Ответ: $A=\{-2, \, -1, \, 0,\, 1,\, 2\}. $
Изобразить на координатной плоскости следующие множества:
1.35. $\{(x, y)\in R^2 |\, x+y-2=0\}.$
1.36. $\{(x, y)\in R^2 |\, x^2-y^2>0\}.$
1.37. $\{(x, y)\in R^2 |\, (x^2-1)(y+2)=0\}.$
1.43. Описать перечислением всех элементов множества $A\cup B, \,\, A\cap B, \,\, A\setminus B, \,\, B\setminus A.$
$$A=\{x\in R\,|\, x^2+x-20=0\},\qquad B=\{x\in R\, | \, x^2-x+12=0\}.$$
Ответ: $A\cup B=\{-5, 3, 4\},\,\, A\cap B =\{4\}, \,\,\, A\setminus B=\{5\}, B\setminus A= \{3\}.$
В задачах 1.50, 1.53, приняв отрезок за универсальное множество $T=[0, 1]$ найти и изобразить на числовой оси дополнения следующих множеств:
1.50. $\{0, 1\};$
Ответ: $(0, \, 1).$
1.53. $\{1/4\}\cup[3/4,\, 1).$
Ответ: $[0, \, 1/4)\cup (1/4, 3/4)\cup \{1\}.$
1.55. Доказать, что операции $\cup$ и $\cap$ связаны законом дистрибутивности:
$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C);$$
$$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C);$$
Доказать равенства:
1.57. $A\setminus B=A\cap\overline B.$
1.58. $\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B.$
Рейтинг: 4 / 5
Счетность и несчетность множеств. Равномощность множеств.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Множество $X$ называется счетным, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами множества $N$ всех натуральных чисел (то есть элементы множества $X$ можно пронумеровать 1, 2, ...).
Примеры.
Доказать, что следующие множества счетны:
1.64. $\{n\in N\, |\, n=2k, \, k\in N \}.$
Решение.
Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, например, упорядочив множество $\{n\in N\, |\, n=2k, \, k\in N \}$ следующим образом:
$$2, 4, 6, 8, ...$$ а затем каждому элементу множества поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности $$1, 2, 3, 4, ... .$$ Таким образом заданное множество является счетным.
Что и требовалось доказать.
1.66. $\{n\in N\, |\, n=2^k, \, k\in N \}.$
Решение.
Множество $\{n\in N\, |\, n=2^k, \, k\in N \}$ упорядочим следующим образом:
$$2^1, 2^2, 2^3, 2^4, ...$$ далее каждому элементу множества поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между заданнім множеством и множеством натуральніх чисел. Следовательно, множество $$\{n\in N\, |\, n=2^k, \, k\in N \}$$ является счетным.
Что и требовалось доказать.
1.68. Пусть $X_1, X_2, X_3, ... -$ счетные множества. Доказать, что их объеденение $\bigcup\limits_{n\in N} X_n-$ счетное множество.
Решение.
Пусть $X_n=\{x_{n, 1}, x_{n, 2}, ..., x_{n, l},... \}.$ Тогда элементы множества $\bigcup\limits_{n\in N} X_n$ можно записать в виде следующей таблицы:
$$x_{1, 1},\, x_{1, 2},\, x_{1, 3},\,\cdots, x_{1, l},\cdots $$
$$x_{2, 1},\, x_{2, 2},\, x_{2, 3},\, \cdots, x_{2, l},\cdots $$
$$x_{3, 1},\, x_{3, 2},\, x_{3, 3},\, \cdots, x_{3, l},\cdots $$
$$..........................$$
$$x_{n, 1},\, x_{n, 2},\, x_{n, 3},\, \cdots, x_{n, l},\cdots $$
$$..........................$$
Занумеруем элементы этой таблицы следующим образом: в качестве первого элемента берем элемент $x_{1, 1},$ следующие два элемента -- элементы стоящие на диагонали $x_{1, 2}$ и $x_{2, 1},$ затем считаем три элемента стоящие на следующей диагонали $x_{3, 1},\,\, x_{2, 2}$ и $x_{1, 3}$ и так далее. Таким образом, каждому элементу множества $\bigcup\limits_{n\in N} X_n$ можно поставить в соответствие натуральное число (порядковый номер элемента, если их пересчитывать по указанной выше схеме). Следовательно, заданное множество счетное.
Что и требовалось доказать.
1.69.Используя результат задачи 1.68 доказать, что множество всех рациональных чисел $Q=\{x\in R\,|\, x=\frac{m}{n},\,\, n\neq 0,\,\, m,\, n \in Z \}.$
Решение.
Множество рациональных чисел можно представить как объединение счетных множеств $X_n=\{\frac{n}{k}\, | k\in N \}=\left\{\frac{n}{1},\frac{n}{2}, \frac{n}{3}, \cdots\right\}.$
Каждое множество $X_n$ счетное, поскольку каждому элементу можно поставить в соответствие натуральное число, стоящее в знаменателе. Тогда множество $$Q=\{x\in R\,|\, x=\frac{m}{n},\,\, n\neq 0,\,\, m,\, n \in Z \}=\bigcup\limits_{n\in N} X_n$$так же является счетным, как было доказано в задаче 1.68.
Что и требовалось доказать.
Множества $A$ и $B$ называются равномощными, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами множества $A$ и элементами множества $B.$ (то есть каждому элементу множества $A$ можно поставить в соответствие один и только один элемент множеста $B,$ а каждому элементу множества $B$ можно поставить в соответствие один и только один элемент множеста $A.$)
Примеры:
1. Докажите, что отрезки $[0, 1]$ и $[0, 2]$ равномощны.
Доказательство.
Каждому элементу $x\in [0, 1]$ поставим в соответствие число $2x.$ Очевидно $2x\in [0, 2].$ Аналонгично каждому элементу $y\in[0, 2]$ соответствует, и притом единственное, число $\frac{y}{2}\in\,[0, 1].$
Что и требовалось доказать.
2. Докажите, что интервалы $(a, b)$ и $(c, d)$ равномощны.
Доказательство.
Проведем доказательство в несколько этапов:
1) Заметим, что отображение $x\rightarrow x-a$ является взаимно однозначным соответствием между интервалами $(a, \, b)$ и $(0,\, b-a).$
2) Отображение $x\rightarrow\frac{(d-c)x}{b-a}$ взаимно однозначно отображает интервал $(0, b-a)$ на $(0, \, d-c).$
3) Отображение $x\rightarrow x+c$ взаимно однозначно отображает интервал $(0, d-c)$ на $(c, d).$
Композиция приведенных отображений $x\rightarrow\frac{(d-c)(x-a)}{b-a}+c$ является взаимно однозначным отображением между интервалами $(a,\, b)$ и $(c,\, d).$ Следовательно интервалы $(a,\, b)$ и $(c,\, d)$ равномощны.
Что и требовалось доказать.
Домашнее задание.
Доказать, что следующие множества счетны:
1.65. $\{n\in N\, |\, n=k^2, \, k\in N \}.$
1.67. Доказать, что если множество $X$ счетно и $A\subset X$ его бесконечное подмонжество, то множество $A$ так же счето используя этот результат доказать, что множество $$n\in Z | n=k^2-k+1, k\in N$$ счетно.
1.70. Используя результат задачи 1.68, доказать, что множество всех точек плскости с рациональными координатами счетно.
1. Докажите, что полуинтервал $[0,\, 1)$ равномощен полуинтервалу $(0,\, 1].$
2. Докажите, что интервал $(0, 1)$ и луч $(0, \, +\infty)$ равномощны.
Рейтинг: 4 / 5
Некоторые вводные понятия математической логики теории множеств.
Логическая символика. Необходимые и достаточные условия.
Множества, операции над множествами.
Счетность и несчетность множеств. Равномощность множеств.
Ограниченность числовых множеств, их точные границы. Предельные точки числовых множеств.
Рейтинг: 4 / 5
Ограниченность числовых множеств, их точные границы. Предельные точки числовых множеств.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Пусть $X -$ произвольное непустое множество действительных чисел. Число $M=\max X$ называется наибольшим (максимальным) элементом множества $X,$ если $M\in X$ и для всякого $x\in X$ выполняется неравенство $x\leq M$. Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента $m=\min X$ множества $X.$
Множество $X$ называется ограниченным сверху, если существует действительное число $a$ такое, что $x\leq a$ для всех $x\in X.$ Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества $X.$ Для заданного ограниченного сверху множества $X$ множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества $X$ и обозначается символом $\sup X.$ Очевидно $\sup X=\max X$ тогда и только тогда когда $\sup X\in X.$
Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества $X.$ Последняя обозначается символом $\inf X.$
Множество $X,$ ограниченное снизу и сверху, называется ограниченным.
Пусть $x\subset R.$ Число $x_0\in R$ называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки $x_0$ содержит точку из множества $X,$ отличную от $x_0,$ то есть для $$\forall\varepsilon>0\,\,\exists y\in X, y\neq x_0: |y-x_0|<\varepsilon.$$
Сама точка $x_0$ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству $X$.
Примеры.
1.73. Пусть $X=\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{n}\right\}.$
а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют.
б) Каковы множества верхних и нижних граней для множества $X.$ Найти $\sup X$ и $\inf X.$
Решение.
а) Данное множество имеет наибольший элемент $M=1$ поскольку для всех элементов множества $x\in X $ выполняется неравенство $x\leq 1$ и при этом $1\in X.$
Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=\frac{1}{n}\in X$ всегда найдется элемент $x_{n+1}=\frac{1}{n+1}\in X$ для которого выполняется неравенство $x_{n+1}\leq x_n.$
б) Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $x\leq 1,$ причем $1\in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $[1, +\infty)$ c наименьшим элементом равным $1.$ Таким образом, $\sup X=1.$
Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $x\geq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>\frac{1}{\varepsilon}\,\,\Rightarrow\,\,\frac{1}{n}<\varepsilon,\quad\frac{1}{n}\in X.$$ Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-\infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $\inf X=0.$
Ответ: $M=1,$ наименьшего элемента не существует, $[1, +\infty),$ $(-\infty, 0],$ $\sup X=1,$ $\inf X=0.$
1.74. Для множества $X=\left\{x\in R|\,\, x=\frac{1}{2^n},\,\, n\in N\right\}$ найти $\max X, \,\, \min X,$ $\sup X$ и $\inf X$ если они существуют.
Решение.
Запишем множество $X$ в виде
$$X=\left\{x\in R|\,\, x=\frac{1}{2^n},\,\, n\in N\right\}=\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, .., \frac{1}{2^n},...\right\}$$
Данное множество имеет наибольший элемент $M=\frac{1}{2}$ поскольку для всех элементов множества $x\in X $ выполняется неравенство $x\leq \frac{1}{2}.$ При этом $\frac{1}{2}\in X.$
Наименьшего элемента заданное множество не имеет, так как для любого элемента $x_n=\frac{1}{2^n}\in X$ всегда найдется элемент $x_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\in X$ для которого выполняется неравенство $x_{n+1}\leq x_n.$
Поскольку для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется неравенство $x\leq \frac{1}{2},$ причем $\frac{1}{2}\in X,$ то множество верхних граней для множества $X$ это множество $\left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$ c наименьшим элементом равным $\frac{1}{2}.$ Таким образом, $\sup X=\frac{1}{2}.$
Наименьшего элемента множества $X$ не существует. Очевидно, что для всех элементов $x$ множества $X$ выполняется $x\geq 0, $ то есть множество $X$ ограничено снизу. Покажем, что $0$ является предельным значением множества $X.$ Действительно, для любого $\varepsilon>0$ можно найти натуральное число $$n>\log_2\frac{1}{\varepsilon}\,\,\Rightarrow 2^n>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow\,\,\frac{1}{2^n}<\varepsilon,\quad\frac{1}{2^n}\in X.$$Таким образом, множество нижних граней для $X$ это множество $(-\infty, 0]$ c наибольшим элементом равным $0.$ Отсюда находим $\inf X=0.$
Ответ: $M=\frac{1}{2},$ наименьшего элемента не существует $\sup X=\frac{1}{2},$ $\inf X=0.$
1.80. Пусть $X\subset R -$ произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество $-X=\{x|\,\, -x\in X\}$ так же ограничено и справедливы равенства $$\sup (-X)=-\inf X,\qquad \inf (-X)=-\sup X.$$
Доказательство.
Так как множество $X$ ограничено, то оно ограничено сверху и снизу, а значит существуют соответственно, числа $a$ и $b$ такие, что $\forall x\in X, \,\, a\leq x\leq b. $ Отсюда, решая неравенство видно, что для элементов $-x$ верно неравенство $-b\leq -x\leq -a.$ То есть множество $-X=\{x|\,\, -x\in X\}$ также является ограниченным.
Пусть $a=\inf X.$ Тогда из неравенства $-x\leq -a$ получаем $-x\leq -\inf X.$
Если $a\in X,$ то $-a\in -X.$ В этом случае очевидно, что $$-a=\sup(-X)\Rightarrow \sup(-X)=-\inf X.$$
Если $a\notin X,$ то $-a\notin -X.$ Покажем, что $-a$ это наименьшй элемент принадлежащий множеству верхних граней. Действительно, пусть существует элемент $c\neq a, \,\,-c\notin -X,$ такой что для всех $-x\in -X$ $-x\leq -c\leq -a.$ Тогда $c\notin X$ и віполняется неравенство $a\leq c\leq x.$ Следовательно, $a\neq \inf X.$ Получили противоречие. Таким образом, $$-a=\sup(-X)\Rightarrow \sup(-X)=-\inf X.$$
Аналогично доказывается, что $\inf (-X)=-\sup X.$
Что и требовалось доказать.
Домашнее задание.
1.75. Для множества $X=[-1, \, 1]$ найти $\max X, \,\, \min X,$ $\sup X$ и $\inf X$ если они существуют.
Ответ: $1,\, -1,\, 1,\, -1.$
1.76. Для множества $X=\left\{x\in Z|\,\, -5\leq x <0\right\}$ найти $\max X, \,\, \min X,$ $\sup X$ и $\inf X$ если они существуют.
Ответ: Не существует, $-5,\, 0,\, -5.$
1.81. Пусть $X,\,\, Y\subset R -$ произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество $X+Y=\{z\in R|\,\, z=x+y,|\,\, x\in X,\, y\in Y\}$ ограничено сверху и справедливы равенства $$\sup (X+Y)=\sup X+\sup Y.$$