Аналитическая геометрия.

Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна

Прямая на плоскости, всевозможные уравнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения прямой:

1) $y=kx+b,$ где $k -$ угловой коэффициент, $b-$ отрезок, который прямая отсекает на оси $OY.$

pryamaya1

2) $y-y_0=k(x-x_0) $ - уравнение прямой, которая проходит через заданную точку $P(x_0, y_0)$ под заданным углом $\alpha$ к оси $OX$ $(k=tg\alpha).$

pryamaya2

3) $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} $ - уравнение прямой, которая проходит через две точки $M(x_1, y_1)$ и $N(x_2, y_2).$ 

pryamaya3

4) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $ - уравнение прямой в отрезках на осях, где $a$ и $b -$ величины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

pryamaya4

5) $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m} $ - каноническое уравнение прямой, где $\overline{S}=(l, m) -$ направляющий вектор прямой, то есть вектор параллельный прямой $(\overline{S}\parallel L),$ точка $P(x_0, y_0)\in L.$

  {jumi[*4]}

6) $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ - уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B).$ Вектор $\overline N$ называется нормальным вектором прямой.

pryamaya5,6

7) $Ax+By+C=0 -$ общее уравнение прямой $L,$ где $\overline{N}=(A, B) -$ нормальный вектор прямой $L.$

pryamaya7

8) $x\cos\alpha+y\cos\beta-p=0 -$ нормальное уравнение прямой, где $\cos\alpha$ и $\cos\beta -$ направляющие косинусы нормального вектора $n,$ направленного из начала координат в сторону прямой, а $p>0 -$ расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

 

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|.$$

 


Расположение двух прямых на плоскости.

Условия параллельности двух прямых:

1) Пусть $L_1: k_1x+b_1,$ $k_1=tg\alpha_1;$

              $L_2: k_2x+b_2,$ $k_2=tg\alpha_2.$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $k_1=k_2.$

parallel1

2) Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1},$ $\overline{S}_1=(l_1, m_1);$

            $L_2:$ $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2},$ $\overline{S}_2=(l_2, m_2).$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{S}_1\parallel\overline{S}_2\Leftrightarrow$ $\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}.$

parallel2

3) Пусть $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

            $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{N}_1\parallel\overline{N}_2\Leftrightarrow$ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}.$

parallel3

 Условия перпендикулярности двух прямых:

1) Пусть $L_1: k_1x+b_1,$ $k_1=tg\alpha_1;$

               $L_2: k_2x+b_2,$ $k_2=tg\alpha_2.$

 $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$  $k_1\cdot k_2=-1.$

  perp1

2) Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1},$ $\overline{S}_1=(l_1, m_1);$

           $L_2:$ $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2},$ $\overline{S}_2=(l_2, m_2).$

$L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline{S}_1\perp\overline{S}_2\Leftrightarrow$  ${l_1}\cdot{l_2}+{m_1}\cdot{m_2}=0.$

perp2

3) Пусть $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

             $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

$L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline{N}_1\perp\overline{N}_2\Leftrightarrow$ ${A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}=0.$

perp3

 Угол между прямыми:

 1) Пусть $L_1: k_1x+b_1,$ $k_1=tg\alpha_1;$

                $L_2: k_2x+b_2,$ $k_2=tg\alpha_2.$

$tg\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}.$

 ugol1

2) Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1},$ $\overline{S}_1=(l_1, m_1);$

            $L_2:$ $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2},$ $\overline{S}_2=(l_2, m_2).$

$\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{{l_1}\cdot{l_2}+{m_1}\cdot{m_2}}{\sqrt{l_1^2+m_1^2}\cdot\sqrt{l_2^2+m_2^2}}.$

  ugol2

3) Пусть $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

            $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

$\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{{A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.$

ugol3


Примеры:

2.141.

а) Прямая $L$ задана точкой $M_0(-1; 2)\in L$ и нормальным вектором $\overline N(2; 2).$ Требуется: 1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

Решение.

Подставим в формулу 6) для уравнения прямых ($A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$) соответственно координаты точки $(x_0; y_0)=M_0(-1; 2)$  и вектора $(A; B)=\overline N(2; 2):$

$2(x+1)+2(y-2)=0.$ Далее, приведем это уравнение к общему виду:

$2x+2+2y-4=0\Rightarrow$

$2x+2y-2=0\Rightarrow$

$x+y-1=0.$

Нормальное уравнение прямой имеет вид $x\cos\alpha+y\cos\beta-p=0,$ где $\cos\alpha$ и $\cos\beta -$ направляющие косинусы нормального вектора $n,$ направленного из начала координат в сторону прямой, а $p>0 -$ расстояние от начала координат до прямой.

Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Для нашей прямой имеем $A=1; B=1; C=-1 \Rightarrow sgn C=-1.$ Таким образом, $\mu=-\frac{-1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Запишем нормальное уравнение прямой:

$x+y-1=0   |\cdot\frac{1}{\sqrt 2}\Rightarrow$

$\frac{1}{\sqrt 2}x+\frac{1}{\sqrt 2}y-\frac{1}{\sqrt 2}=0.$

Расстояние от начала координат $p=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Ответ: $2(x+1)+2(y-2)=0;$ общее уравнение $x+y-1=0;$ нормальное уравнение прямой $\frac{1}{\sqrt 2}x+\frac{1}{\sqrt 2}y-\frac{1}{\sqrt 2}=0;$ $p=\frac{1}{\sqrt 2}.$

 

 

2.142.

а) Прямая $L$ задана точкой $M_0(-1; 2)\in L$ и направляющим вектором $\overline S(3; -1).$ Требуется: 1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

 Решение.

Подставим в формулу 5) для уравнения прямых ($\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$) соответственно координаты точки $(x_0; y_0)=M_0(-1; 2)$  и вектора $(l; m)=\overline S(3; -1):$ $\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-1}$

 Далее, приведем это уравнение к общему виду:

 $-1(x+1)=3(y-2)\Rightarrow$

 $-x-1-3y+6=0\Rightarrow$

 $x+3y-5=0.$

Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Для нашей прямой имеем $A=1; B=3; C=-5 \Rightarrow sgn C=-1.$ Таким образом, $\mu=-\frac{-1}{\sqrt{1+9}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$

Запишем нормальное уравнение прямой:

$x+y-1=0   |\cdot\frac{1}{\sqrt {10}}\Rightarrow$

$\frac{1}{\sqrt {10}}x+\frac{3}{\sqrt {10}}y-\frac{5}{\sqrt {10}}=0.$

Расстояние от начала координат $p=\frac{5}{\sqrt {10}}.$

Ответ: $\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-1};$  общее уравнение $x+3y-5=0;$ нормальное уравнение прямой $\frac{1}{\sqrt {10}}x+\frac{3}{\sqrt {10}}y-\frac{5}{\sqrt {10}}=0;$ $p=\frac{5}{\sqrt {10}}.$

 

2.143.

а) Прямая $L$ задана двумя своими точками $M_1(1; 2)\in L$ и $M_2(-1; 0)\in L.$ Требуется: 1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

  Решение.

Подставим в формулу 3) для уравнения прямых ($\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$) соответственно координаты точек $M_1(1; 2)=(x_1; y_1) и $M_2(-1; 0)=(x_2; y_2):$ $\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-2}{0-2}\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-2}.$

 Далее, приведем это уравнение к общему виду:

 $-2(x-1)=-2(y-2)\Rightarrow$

 $x-1=y-2\Rightarrow$

 $x-y+1=0.$

Общее уравнение прямой приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Для нашей прямой имеем $A=1; B=-1; C=1 \Rightarrow sgn C=1.$ Таким образом, $\mu=-\frac{1}{\sqrt{1+1}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Запишем нормальное уравнение прямой:

$x-y+1=0   |\cdot-\frac{1}{\sqrt {2}}\Rightarrow$

$-\frac{1}{\sqrt {2}}x+\frac{1}{\sqrt {2}}y-\frac{1}{\sqrt {2}}=0.$

Расстояние от начала координат $p=\frac{1}{\sqrt {2}}.$

 

Ответ: $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-2};$  общее уравнение $x-y+1=0;$ нормальное уравнение прямой $-\frac{1}{\sqrt {2}}x+\frac{1}{\sqrt {2}}y-\frac{1}{\sqrt {2}}=0;$ $p=\frac{1}{\sqrt {2}}.$

 

2.150. Треугольник  $ABC$ задан координатами своих вершин $A(1; 2), B(2; -2), C(6; 1).$ Требуется:

1) Найти уравнение стороны $AB;$

2) найти уравнение высоты $CD$ и вычислить ее длину $h=|CD|;$

3) найти угол между высотой $CD$ и медианой $BM.$

Решение.

Сделаем рисунок:

ABC1

1) Уравнение прямой $AB$ найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}. $

В нашем случае $(x_1; y_1)=A(1; 2);$ $(x_2; y_2)=B(2; -2).$

Подставляем координаты точек в уравнение прямой. Получаем $$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y-2}{-2-2}\Rightarrow x-1=\frac{y-2}{-4}.$$ Запишем общее уравнение прямой $AB$:

$-4(x-1)=y-2\Rightarrow$ $-4x+4=y-2\Rightarrow$ $4x+y-6=0.$

2) Уравнение прямой $CD$ найдем, пользуясь уравнением (6): $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ - уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B).$

В нашем случае, высота $CD$ это прямая, которая проходит через точку $C$ перпендикулярно вектору $AB.$

Таким образом, $$(x_0; y_0)=C=(6; 1);\quad\overline{N}=\overline{AB}=(2-1; -2-2)=(1; -4).$$

Подставляем эти координаты в уравнение прямой:

$1(x-6)-4(y-1)=0\Rightarrow x-6-4y+4=0 \Rightarrow x-4y-2=0.$

То есть, уравнение прямой $CD:$ $x-4y-2=0.$ 

 

Чтобы найти длину высоты $h=|CD|,$ найдем координаты точки $D,$ как точки пересечения прямых $CD$ и $AB:$

$\left\{\begin{array}{lcl}x-4y-2=0\\4x+y-6=0.\end{array}\right. $

Решим систему методом исключений:

$\left\{\begin{array}{lcl}x-4y-2=0\\4x+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=4y+2\\4x+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{lcl}x=4y+2\\4(4y+2)+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=4y+2\\16y+8+y-6=0.\end{array}\right. \Rightarrow$ 

$\left\{\begin{array}{lcl}x=-8/17+2=26/17\\y=-2/17.\end{array}\right. .$

Следовательно имеем $D(26/17; -2/17).$ Теперь можем найти длину высоты $CD:$

$h=|CD|=\sqrt{(x_d-x_c)^2+(y_d-y_c)^2}=\sqrt{(26/17-6)^2+(-2/17-1)^2}=$ $\sqrt{\left(\frac{26-102}{17}\right)^2+\left(\frac{-2-17}{17}\right)^2}=\sqrt{\frac{76^2+19^2}{17^2}}=\sqrt{\frac{6137}{17^2}}=\frac{19}{17}\sqrt{17}=\frac{19}{\sqrt{17}}.$

3) Уравнение высоты $CD$ мы уже нашли в пункте 2). Найдем уравнение медианы $BM.$ Будем его искать, используя форумулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Координаты точки $B=(2, -2); $ координаты точки $M$ найдем как середину стороны $AC:$ $x_M=\frac{x_A+x_C}{2}; y_M=\frac{y_A+y_C}{2}.$

$x_M=\frac{1+6}{2}=3.5;$    $y_M=\frac{2+1}{2}=1.5.$

Подставляем координаты точек $B(2; -2)$ и $M(3.5; 1.5)$ в уравнение прямой

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}:$

$\frac{x-2}{3.5-2}=\frac{y-(-2)}{1.5-(-2)}\Rightarrow \frac{x-2}{1.5}=\frac{y+2}{3.5}\Rightarrow$

$3.5(x-2)=1.5(y+2)\Rightarrow 3.5x-7=1.5y+3 \Rightarrow 3.5x-1.5y-10=0.$

Далее, зная общие уравнения двух прямых $CD: x-4y-2=0$ и  $BM: 3.5x-1.5y-10=0$ можно найти угол между ними по формуле 

$\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{{A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2}},$

где $L_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1);$

     $L_2: A_2x+B_2y+C_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2).$

Для наших прямых имеем: $(A_1, B_1)=(1; -4);$ $(A_2; B_2)=(3.5; -1.5).$

Отсюда 

$\cos\widehat{(CD, BM)}=$ $\frac{{1}\cdot{3.5}+{(-4)}\cdot{(-1.5)}}{\sqrt{1^2+(-4)^2}\cdot\sqrt{3.5^2+(-1.5)^2}}=\frac{9.5}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{14.5}}=\frac{19}{\sqrt{986}}.$

 Ответ:  1) $AB: 4x+y-6=0.$

              2) $CD:$ $x-4y-2=0; $  $h=|CD|=\frac{19}{\sqrt{17}};$

              3) $\cos\widehat{(CD, BM)}=$ $\frac{19}{\sqrt{986}}.$

 

2.160. В равнобедренном треугольнике $ABC$ заданы вершина $C(4; 3),$ уравнение $2x-y-5=0$ основания $AC$ и уравнение $x-y=0$ боковой стороны $AB.$ Найти уравнение стороны $BC.$

Решение.

Найдем координаты вершины треугольника $A,$ как точки пересечения прямых $AB$ и $AC:$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\2x-y-5=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\2y-y-5=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\y=5\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=5\\y=5\end{array}\right. $$

Таким образом, мы имеем координаты вершин при основании равнобедренного треугольника $A(5; 5)$ и $C(4; 3).$ Найдем координаты вершины $B(x, y).$ Мы знаем, что эта точка принадлежит прямой $AB: x-y=0$ и что $AB=BC.$ Запишем формулы для длин сторон $AB$ и $BC:$

$|AB|=\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2};$

$|BC|=\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2}.$

Далее, чтобы найти координаты точки $B,$ решим систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2}=\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2}\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\x^2-10x+25+y^2-10y+25=x^2-8x+16+y^2-6y+9\end{array}\right.\Rightarrow $$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-y=0\\-2x-4y+25=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\-2y-4y+25=0\end{array}\right.\Rightarrow $$

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=y\\y=\frac{25}{6}.\end{array}\right.$$ Мы нашли координаты точки $B\left(\frac{25}{6}, \frac{25}{6}\right).$

Зная координаты точек $B$ и $C$ можно записать уравнение прямой $BC,$ как прямой проходящей через две точки $\left(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} \right):$

 $$\frac{x-4}{\frac{25}{6}-4}=\frac{y-3}{\frac{25}{6}-3}\Rightarrow \frac{x-4}{\frac{25-24}{6}}=\frac{y-3}{\frac{25-18}{6}}\Rightarrow $$

$$\Rightarrow\frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{7}\Rightarrow 7x-28=y-3\Rightarrow 7x-y-25=0.$$

Ответ: $7x-y-25=0.$ 

  

2.165. Даны две противоположные вершины квадрата $A(1; 3)$ и $C(-1; 1).$ Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон.

Решение: 

Найдем уравнение диагонали $AC:$ 

$\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-3}{1-3} \Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{-2}\Rightarrow x-y+2=0.$

Найдем ее середину: $$x_O=\frac{x_A+x_C}{2}; y_O=\frac{y_A+y_C}{2}.$$

$$x_O=\frac{1-1}{2}=0;\,\,\, y_O=\frac{3+1}{2}=2\,\, \Rightarrow\,\,  O=(0; 2).$$

Далее, найдем уравнение второй диагонали квадрата -- прямой, проходящей через точку $O$ перпендикулярно прямой $AC.$ Для прямой $AC$ нормальный вектор имеет координаты $\overline{N}=(1; -1).$ Прямая, перпендикулярная прямой $AC$ является параллельной нормальному вектору $\overline{N}$. Таким образом, уравнение прямой $BD$ запишем по формуле 5) $\left(\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}\right),$ где $(x_0, y_0)=O(0; 2),$ $(l, m)=\overline{N}=(1, -1):$

$$\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}\Rightarrow x=-y+2 \Rightarrow x+y-2=0.$$

Ясно, что $AO=CO=BO=DO.$ Найдем длину отрезка $AO:$ $AO=\sqrt{(0-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}.$

Далее, будем искать координаты точек $B$ и $D,$ принадлежащих прямой $BD$ и таких, что $BO=DO=AO.$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x+y-2=0\\\sqrt{(0-x)^2+(2-y)^2}=\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\\sqrt{(y-2)^2+(2-y)^2}=\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\|2-y|\sqrt{2}=\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\|2-y|=1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\\left[\begin{array}{lcl}2-y_1=1\\2-y_2=-1\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow$$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2-y\\\left[\begin{array}{lcl}y_1=1\\y_2=3\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}\left[\begin{array}{lcl}x_1=1\\x_2=-1\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{lcl}y_1=1\\y_2=3\end{array}\right.\end{array}\right.$

Таким образом, мы нашли координаты вершин $B(1; 1)$ и $D(-1; 3).$ Зная координаты вершин квадрата, запишем уравнения его сторон, пользуясь формулой (3) -  $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} $ - уравнение прямой, которая проходит через две точки $M(x_1, y_1)$ и $N(x_2, y_2).$ 

$A(1; 3),$ $B(1; 1),$ $C(-1; 1),$ $D(-1; 3).$

$AB:$ $\frac{x-1}{1-1}=\frac{y-3}{1-3}\Rightarrow\frac{x-1}{0}=\frac{y-3}{-2}\Rightarrow $ $-2(x-1)=0\Rightarrow x=1.$

$BC:$ $\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-1}{1-1}\Rightarrow\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{0}\Rightarrow $ $0(x-1)=-1(y-1)\Rightarrow y=1.$

$CD:$ $\frac{x+1}{-1+1}=\frac{y-1}{3-1}\Rightarrow\frac{x+1}{0}=\frac{y-1}{2}\Rightarrow $ $2(x+1)=0(y-1)\Rightarrow x=-1.$

$DA:$ $\frac{x-1}{-1-1}=\frac{y-3}{3-3}\Rightarrow\frac{x-1}{-2}=\frac{y-3}{0}\Rightarrow $ $0(x-1)=-2(y-3)\Rightarrow y=3.$

 

Ответ: $A(1; 3),$ $B(1; 1),$ $C(-1; 1),$ $D(-1; 3);$ $AB:$ $x=1;$ $BC:$ $y=1;$ $CD:$ $x=-1;$ $DA:$ $y=3.$ 

 

 

 

Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна

Деление отрезка в заданном отношении (векторный и координатный способы).

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Зная координаты точек $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и отношение $\lambda,$ в котором точка $M$ делит направленный отрезок $\overline{M_1M_2},$ найдем координаты точки $M.$

Пусть $O -$ начало координат. Обозначим $\overline{OM_1}=r_1,$ $\overline{OM_2}=r_2,$ $\overline{OM}=r.$ Так как, $$\overline{M_1M}=r-r_1, \overline{MM_2}=r_2-r,$$ то $r-r_1=\lambda(r_2-r),$ откуда (так как $\lambda\neq -1$) $$r=\frac{r_1+\lambda r_2}{1+\lambda}.$$ Полученная форма и дает решение задачи в векторной форме. Переходя в этой формуле к координатам, получим $$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}, z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}.$$

Примеры.

2.57. Отрезок с концами в точках $A(3, -2)$ и $B(6, 4)$ разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

Решение.

Пусть $C(x_C, y_C)$ и $D(x_D, y_D) -$ точки, которые делят отрезок $AB$ на три равные части. Тогда $$\lambda_1=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2};$$ $$x_C=\frac{x_A+\lambda_1x_B}{1+\lambda_1}=\frac{3+\frac{1}{2}\cdot 6}{1+\frac{1}{2}}=4;$$ 

$$y_C=\frac{y_A+\lambda_1y_B}{1+\lambda_1}=\frac{-2+\frac{1}{2}\cdot 4}{1+\frac{1}{2}}=0.$$ 

Далее находим координаты точки $D:$

$$\lambda_2=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}=2;$$ $$x_D=\frac{x_A+\lambda_2x_B}{1+\lambda_2}=\frac{3+2\cdot 6}{1+2}=5;$$ 

$$y_D=\frac{y_A+\lambda_2y_B}{1+\lambda_2}=\frac{-2+2\cdot 4}{1+2}=2.$$ 

Ответ: $(4, 0)$ и $(5, 2).$

 

2.58.Определить координаты концов отрезка, который точками $C(2, 0, 2)$ и $D(5, -2, 0)$ разделен на три равные части.

Решение.

Пусть $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B) -$ концы заданного отрезка.

Выпишем формулы для нахождения координат точки $C$ и подставим известные координаты:

$$\lambda_1=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2};$$ $$x_C=\frac{x_A+\lambda_1x_B}{1+\lambda_1}\Rightarrow 2=\frac{x_A+\frac{1}{2}\cdot x_B}{1+\frac{1}{2}}=2\frac{x_A+\frac{1}{2}\cdot x_B}{3}\Rightarrow $$ $$\Rightarrow 3=x_A+\frac{1}{2}\cdot x_B;$$ 

$$y_C=\frac{y_A+\lambda_1y_B}{1+\lambda_1}\Rightarrow 0=\frac{y_A+\frac{1}{2}\cdot y_B}{1+\frac{1}{2}}\Rightarrow 0=y_A+\frac{1}{2}\cdot y_B;$$

$$z_C=\frac{z_A+\lambda_1z_B}{1+\lambda_1}\Rightarrow 2=\frac{z_A+\frac{1}{2}\cdot z_B}{1+\frac{1}{2}}=2\frac{z_A+\frac{1}{2}\cdot z_B}{3}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 3=z_A+\frac{1}{2}\cdot z_B.$$ 

Аналогичные равенства запишем для точки $D:$

$$\lambda_2=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{1}=2;$$ $$x_D=\frac{x_A+\lambda_2x_B}{1+\lambda_2}\Rightarrow 5=\frac{x_A+2\cdot x_B}{1+2}=\frac{x_A+2\cdot x_B}{3}\Rightarrow $$ $$\Rightarrow 15=x_A+2\cdot x_B;$$ 

$$y_D=\frac{y_A+\lambda_2y_B}{1+\lambda_2}\Rightarrow -2=\frac{y_A+2\cdot y_B}{1+2}\Rightarrow -6=y_A+2\cdot y_B;$$

$$z_D=\frac{z_A+\lambda_2z_B}{1+\lambda_2}\Rightarrow 0=\frac{z_A+2\cdot z_B}{1+2}\Rightarrow 0=z_A+2\cdot z_B.$$

Далее запишем полученные уравнения относительно $x_A, x_B;$ $y_A, y_B$  и $z_A, z_B$ попарно в виде систем и решим их:

$$\left\{\begin{array}{lcl}x_A+\frac{1}{2}x_B=3\\x_A+2x_B=15\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x_A=3-0,5x_B\\3-0,5x_B+2x_B=15\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x_A=3-0,5\cdot8=-1\\x_B=\frac{12}{1,5}=8\end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}y_A+\frac{1}{2}y_B=0\\y_A+2y_B=-6\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}y_B=-2y_A\\y_A-4y_A=-6\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}y_B=-4\\y_A=2\end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{lcl}z_A+\frac{1}{2}z_B=3\\z_A+2z_B=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}-2z_B+0,5z_B=3\\z_A=-2z_B\end{array}\right.\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}z_B=-2\\z_A=4\end{array}\right.$$

Таким образом, получили координаты концов отрезка $A(-1, 2, 4)$ и $B(8, -4, -2).$ 

Ответ: $A(-1, 2, 4),$ $B(8, -4, -2).$ 

 

 

Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения плоскости:

1) $Ax+By+Cz+D=0 -$ общее уравнение плоскости $P,$ где $\overline{N}=(A, B, C) -$ нормальный вектор плоскости $P.$

ploskost1

 

2) $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости $P,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ Вектор $\overline N$ называется нормальным вектором плоскости.

ploskost2

 

3) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 -$  уравнение плоскости в отрезках на осях, где $a,$  $b$ и $c -$ величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат.

ploskost3

 

4) $\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&x_2-x_1&x_3-x_1\end{vmatrix}=0 - $ уравнение плоскости, которая проходит через три точки $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ и $C(x_3, y_3, z_3).$ 

 

ploskost4

 

5) $x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0 -$ нормальное уравнение плоскости, где $\cos\alpha, \cos\beta$ и $\cos\gamma -$ направляющие косинусы нормального вектора $\overline{N},$ направленного из начала координат в сторону плоскости, а $p>0 -$ расстояние от начала координат до плоскости.

 

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $\mu=-\frac{sgn D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

 

Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $P: Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|.$$

 {jumi[*3]}

Примеры:

2.180.

а) Заданы плоскость $P: -2x+y-z+1=0$ и точка $M(1, 1, 1).$ Написать уравнение плоскости $P',$ проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $P$ и вычислить расстояние $\rho(P, P').$ 

Решение.

Так как п.лоскости $P$ и $P'$ параллельны, то нормальный вектор для плоскости $P$ будет также нормальным вектором для плоскости $P'.$ Из уравнения плоскости получаем $\overline{N}=(-2, 1, -1).$

Далее запишем уравнение плоскости по формуле (2): $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ 

$-2(x-1)+(y-1)-(z-1)=0\Rightarrow -2x+y-z+2=0.$

Ответ: $-2x+y-z+2=0.$

 

 

 

2.181. 

а) Написать уравнение плоскости $P',$ проходящей через заданные точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ перпендикулярно заданной плоскости $P: -x+y-1=0.$

Решение.

Из уравнения плоскости $P,$ находим ее нормальный вектор $\overline{N}=(-1, 1, 0).$ Плоскость, перпендикулярная плоскости $P,$ параллельна ее нормальному вектору. Отсюда следует, что можно выбрать точку $M_3(x, y, z)\in P'$ такую, что что $\overline{M_1M_3}||\overline{N}.$

$\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$

Условие коллинеарности векторов $\overline{M_1M_3}$ и $\overline{N}:$ $\frac{x_{M_1M_3}}{x_N}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_N}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_N}.$

Поскольку $z_N=0,$ то есть вектор $N\in XoY,$ то $z_{M_1M_3}=0.$

$\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}.$ Пусть $x=2,$ тогда $y=1.$

Мы нашли точку $M_3=(2, 1, 0).$

Так как точка $M_1\in P',$ то и $M_3\in P'.$ Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(2, 1, 0).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\2-1&1-2&0-0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)0+(-1)z+(y-2)-(-1)z-(-1)(x-1)-(y-2)0=0\Rightarrow$ $\Rightarrow-z+y-2+z+x-1=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

2.182.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ параллельно векторам $a_1(0, 1, 2)$ и $a_2(-1, 0, 1).$ 

Решение.

Поскольку вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2$ (см. векторное произведение), то он будет также перпендикулярен искомой плоскости. То есть вектор $[a_1, a_2]$ является нормальным для плоскости $P.$ Найдем этот вектор:

$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\0&1&2\\-1&0&1\end{vmatrix}=i(1-0)-j(0+2)+k(0+1)=i-2j+k.$

Таким образом $\overline{N}=[a_1, a_2]=(1, -2, 1).$

Теперь можно найти уравнение плоскости $P,$ по формуле (2), как плоскости, проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ перпендикулярно  вектору $\overline N=(1, -2, 1):$

$1(x-1)-2(y-1)+1(z-1)=0\Rightarrow$

$x-2y+z=0.$

Ответ: $x-2y+z=0.$

 

 

2.183.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ параллельно вектору $a=(3, 0, 1).$

Решение.

Поскольку вектор $a$ параллелен плоскости $P,$ то для всякого вектора $\overline{M_1M_3},$ параллельного вектору $a,$ точка $M_3\in P.$

Пусть $M_3=(x, y, z).$ Тогда $\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$ Так как $\overline{M_1M_3}||a,$ то $\frac{x_{M_1M_3}}{x_а}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_а}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_а}.$ $y_a=0,$ то есть вектор $a\in XoZ$ и  всякий параллельный ему вектор так же будет принадлежать этой плоскости. Таким образом, $y_{M_1M_3}=y-2=0\Rightarrow y=2.$

Из условия параллельности векторов имеем $\frac{x-1}{3}=\frac{z}{1}.$ Пусть $x=4,$ тогда $z=1.$

Мы получили точку $M_3=(4, 2, 1).$

Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(4, 2, 1).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\4-1&2-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\3&0&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+1\cdot z\cdot 0+(y-2)3-3(-1)z-0\cdot 1\cdot(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+3y-6+3z-y+2=0\Rightarrow -x+2y+3z-3=0.$

Ответ: $-x+2y+3z-3=0.$ 

 

2.184.

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(1, 2,0),$ $M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(3, 0, 1).$ 

Решение.

Воспользуемся формулой (4):

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\3-1&0-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\2&-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+z(-2)+2(y-2)1-2(-1)z-(-2)(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+-2z+2y-4+2z+2x-2-y+2=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

 {jumi[*4]} 

Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна

Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.  

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Условие параллельности двух плоскостей:

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1, C_1);$    

          $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2, C_2).$

Плоскости $P_1$ и $P_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{N}_1\parallel\overline{N}_2\Leftrightarrow$ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.$

 ploskost-parallel   

Условия перпендикулярности двух плоскостей:  

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1, C_1);$          

          $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2, C_2).$  

$P_1\perp P_2\Leftrightarrow$ $\overline{N}_1\perp\overline{N}_2\Leftrightarrow$ ${A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}+C_1\cdot C_2=0.$      

ploskost-perpend

Угол между плоскостями:  

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $\overline{N}_1=(A_1, B_1, C_1);$            

          $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $\overline{N}_2=(A_2, B_2, C_2).$

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=$ $\frac{\overline N_1\cdot \overline N_2}{|\overline N_1||\overline N_2|}=$ $\frac{{A_1}\cdot{A_2}+{B_1}\cdot{B_2}+C_1\cdot C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$    

ploskost-ugol

 

Примеры.

В задачах исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом, в случае $P_1\parallel P_2$ то найти расстояние между плоскостями, а в случае - косинус угла между ними. 

2.185. $P_1: -x+2y-z+1=0;$ $P_2: y+3z-1=0.$

Решение.

Вычислим угол между заданными плоскостями.

$P_1: -x+2y-z+1=0, \Rightarrow\overline{N}_1=(-1, 2, -1);$

$P_2: y+3z-1=0, \Rightarrow\overline{N}_2=(0, 1, 3).$

Отсюда 

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=$ $\frac{\overline N_1\cdot \overline N_2}{|\overline N_1||\overline N_2|}=$ $\frac{-1\cdot 0+2\cdot1-1\cdot 3}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2+3^2}}=\frac{-1}{\sqrt{60}}=\frac{-1}{2\sqrt{15}}.$

Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2\sqrt{15}}.$

Ответ: Плоскости пересекаются. $\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2\sqrt{15}}.$

2.187. $P_1: x-y+1=0;$ $P_2: y-z+1=0.$

Решение.

Вычислим угол между заданными плоскостями.

$P_1: x-y+1=0, \Rightarrow\overline{N}_1=(1, -1, 0);$

$P_2: y-z+1=0, \Rightarrow\overline{N}_2=(0, 1, -1).$

Отсюда 

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=$ $\frac{\overline N_1\cdot \overline N_2}{|\overline N_1||\overline N_2|}=$ $\frac{1\cdot 0+(-1)\cdot1+0\cdot (-1)}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2+0^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{-1}{\sqrt{4}}=\frac{-1}{2}.$

Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями

$\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2}.$

Ответ: Плоскости пересекаются. $\cos\widehat{(P_1, P_2)}=\frac{1}{2}.$

 

2.196. Составить уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $A(1, 1, -1)$ и перпендикулярной к плоскостям $P_1: 2x-y+5z+3=0$ и $P_2: x+3y-z-7=0.$

Решение.

Для того, чтобы плоскость $P$ была перпендикулярно плоскостям $P_1$ и $P_2,$ достаточно, чтобы она была параллельна их нормалям $N_1$ и $N_2.$ Или, что тоже самое, перпендикулярна векторному произведению $[N_1, N_2]$

$P_1: 2x-y+5z+3=0, \Rightarrow\overline{N}_1=(2, -1, 5);$

$P_2: x+3y-z-7=0, \Rightarrow\overline{N}_2=(1, 3, -1).$

$[N_1, N_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-1&5\\1&3&-1\end{vmatrix}=i(1-15)-j(-2-5)+k(6+1)=$ $=-14i+7j+7k.$

Теперь выпишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $A(1, 1, -1)$  и перпендикулярной вектору $[N_1, N_2]=(-14, 7, 7):$

$-14(x-1)+7(y-1)+7(z+1)=0  |:7$

$-2(x-1)+y-1+z+1=0$

$-2x+y+z+2=0.$

Ответ: $-2x+y+z+2=0.$

 

 

Домашнее задание.

 

В задачах исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом, в случае $P_1\parallel P_2$ то найти расстояние между плоскостями, а в случае - косинус угла между ними. 

2.186. $P_1: 2x-y+z-1=0;$ $P_2: -4x+2y-2z-1=0.$

2.188. $P_1: 2x-y-z+1=0;$ $P_2: -4x+2y+2z-2=0.$

 

 

Рейтинг:  2 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна

Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:

1) $\left\{\begin{array}{lcl}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\quad (P_1)\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\quad (P_2)\end{array}\right. - $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$

 pryamayavprostr1

2) $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} -$  каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline{S}=(m, n, p).$ Вектор $\overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$

pryamayavprostr2 

3) $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$ 

4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:

$$\left\{\begin{array}{lcl}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{array}\right.  $$

 

 

Расположение двух прямых в пространстве.

 

Пусть $L_1:$ $\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$ $\overline{S}_1=(m_1, n_1, p_1);$

 

            $L_2:$ $\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2},$ $\overline{S}_2=(m_2, n_2, p_2).$

 

Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline{S}_1\parallel\overline{S}_2\Leftrightarrow$ $\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}.$

 

Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline{S}_1\perp\overline{S}_2\Leftrightarrow$  ${m_1}\cdot{m_2}+{n_1}\cdot{n_2}+p_1\cdot p_2=0.$

 

Угол между прямыми:

 $\cos\widehat{(L_1, L_2)}=$ $\frac{\overline{S}_1\cdot\overline{S}_2}{|\overline S_1|\cdot|\overline S_2|}=\frac{{m_1}\cdot{m_2}+{n_1}\cdot{n_2}+p_1\cdot p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\cdot\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}.$

 

  ugol2

 

 Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.

Пусть прямая $L$ задана уравнением $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p},$ следовательно $\overline S=(m, n, p).$  Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=\frac{|[\overline{M_1M_2}, \overline S]|}{|\overline S|}.$$

dist

Примеры.

2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:

а) вектору $q(2, -3, 5);$

б) прямой $\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{-1};$

в) оси $OX;$

д) прямой $\left\{\begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end{array}\right.  $

е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac{1}{2}t.$

Решение.

а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве: 

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} -$  каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline{S}=(m, n, p).$

По условию  $M_0(2, 0, -3)$ и $\overline{S}=q(2,-3,5).$

Таким образом, $\frac{x-2}{2}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-(-3)}{5}\Rightarrow\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{5}.$

Ответ: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{5}.$

 

б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой  $\frac{x-1}{5}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{-1}$ имеет координаты $\overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):

$\frac{x-2}{5}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-(-3)}{-1}\Rightarrow\frac{x-2}{5}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}.$

Ответ: $\frac{x-2}{5}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}.$

 

в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$

$\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-(-3)}{0}\Rightarrow\frac{x-2}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z+3}{0}.$

Ответ: $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z+3}{0}.$

 

 
 

д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому Направляющий вектор прямой 

$\left\{\begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end{array}\right.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.

Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$

для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$

Находим векторное произведение:

$[N_1, N_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\3&-1&2\\1&3&-2\end{vmatrix}=i(2-6)-j(-6-2)+k(9+1)=-4i+8j+10k.$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\{\begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end{array}\right.$ имеет координаты $\overline S (-4, 8, 10).$

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(-4, 8, 10):$

 $\frac{x-2}{-4}=\frac{y-0}{8}=\frac{z-(-3)}{10}\Rightarrow\frac{x-2}{-4}=\frac{y}{8}=\frac{z+3}{10}.$

 Ответ: $\frac{x-2}{-4}=\frac{y}{8}=\frac{z+3}{10}.$

  {jumi[*4]}

е) Найдем направляющий вектор прямой  $x=-2+t, y=2t, z=1-\frac{1}{2}t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:

$\left\{\begin{array}{lcl}x=-2+t,\\ y=2t,\\z=1-\frac{1}{2}t \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}t=x+2,\\ t=\frac{y}{2},\\t=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}} \end{array}\right.$ $\Rightarrow\frac{x+2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}.$

Отсюда находим направляющий вектор $\overline S\left(1, 2, -\frac{1}{2}\right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $\overline S_1(2, 4, -1).$

Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(2, 4, -1):$

$\frac{x-2}{2}=\frac{y-0}{4}=\frac{z-(-3)}{-1}\Rightarrow\frac{x-2}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{-1}.$

Ответ: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{-1}.$

 

2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$ 

Решение.

Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$ 

Подставляем заданные точки: 

$\frac{x-1}{3-1}=\frac{y+2}{1+2}=\frac{z-1}{-1-1} \Rightarrow$ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-2}.$

Ответ: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-2}.$

 

2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми

$\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{2}$ и $\frac{x-7}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{2}.$

Решение.

Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$  равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=\frac{|[\overline{M_1M_2}, \overline S]|}{|\overline S|},$$ где $M_1-$ произвольная точка прямой $L_1,$ $M_2 - $произвольная точка прямой $L_2,$ $\overline S -$ направляющий вектор прямой $L_2.$

Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)\in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)\in L_2,$ $\overline S=(3, 4, 2).$

Отсюда находим $\overline{M_1M_2}=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$

$[\overline{M_1M_2}, \overline S]=\begin{vmatrix}i&j&k\\5&2&3\\3&4&2\end{vmatrix}=i(4-12)-j(10-9)+k(20-6)=$ $=-8i-j+14k.$

$|[\overline{M_1M_2},\overline S]|=\sqrt{8^2+1+14^2}=\sqrt{64+1+196}=\sqrt{261}=\sqrt{9* 29}=3\sqrt{29}.$

$|\overline S|=\sqrt{3^2+4^2+2^2}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$

$$d(L_1, L_2)=\frac{|[\overline{M_1M_2}, \overline S]|}{|\overline S|}=\frac{3\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=3.$$

Ответ: 3.

 

 2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end{array}\right.$

Решение.

Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.

Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему: 

$\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+0+3=0,\\ 3x-2y+0+17=0 \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+3=0,\\ 3x-2y+17=0 \end{array}\right.-\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x+14=0,\\ 2x-2y+3=0 \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=-14,\\ -28-2y+3=0 \end{array}\right.\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=-14,\\ y=-\frac{25}{2}. \end{array}\right.$

Таким образом, $M=(-14, -\frac{25}{2}, 0)$

Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$

для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$

Находим векторное произведение:

$[N_1, N_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-2&1\\3&-2&2\end{vmatrix}=i(-4+2)-j(4-3)+k(-4+6)=-2i-j+2k.$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\{\begin{array}{lcl}2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end{array}\right.$

имеет координаты $\overline S (-2, -1, 2).$

Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=\frac{|[\overline{AM}, \overline S]|}{|\overline S|}.$$

$\overline{AM}=\left(2-(-14),3-\left(-\frac{25}{2}\right),-1-0\right)=\left(16, 15\frac{1}{2}, -1\right)$

$[\overline{AM}, \overline S]=\begin{vmatrix}i&j&k\\16&15,5&-1\\-2&-1&2\end{vmatrix}=i(31-1)-j(32-2)+k(-16+31)=$ $=30i-30j+15k.$

 $|[\overline{AM},\overline S]|=\sqrt{30^2+30^2+15^2}=\sqrt{900+900+225}=\sqrt{2025}=45.$

 $|\overline S|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=3$

 $$d(A, L)=\frac{|[\overline{AM}, \overline S]|}{|\overline S|}=\frac{45}{3}=15.$$

 Ответ: $d(A, L)=15.$

 

2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: \frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}.$

Решение. 

Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$

$P: 3x-2y-3z-7=0\Rightarrow \overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $\overline N(3, -2, -3).$

$P_1: 3(x-3)-2(y+2)-3(z+4)=0\Rightarrow $

$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 \Rightarrow$

$P_1: 3x-2y-3z-25=0.$

Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме: 

$L: \frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}=t\Rightarrow$

 $\left\{\begin{array}{lcl}x=3t+2,\\ y=-2t-4,\\z=2t+1. \end{array}\right.$

Далее, подставим значения $x, y$  и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$

$3x-2y-3z-25=0$

$3(3t+2)-2(-2t-4)-3(2t+1)-25=0$

$9t+6+4t+8-6t-3-25=0$

$7t-14=0$

$t=\frac{14}{7}=2$

Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:

  $\left\{\begin{array}{lcl}x=3t+2,\\ y=-2t-4,\\z=2t+1. \end{array}\right.\Rightarrow $  $\left\{\begin{array}{lcl}x=6+2=8,\\ y=-4-4=-8,\\z=4+1=5. \end{array}\right.$

Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$

Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$-- это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой (3) $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} :$

$\frac{x-3}{8-3}=\frac{y+2}{-8+2}=\frac{z+4}{5+4}\Rightarrow$ $\frac{x-3}{5}=\frac{y+2}{-6}=\frac{z+4}{9}.$

 Ответ: $\frac{x-3}{5}=\frac{y+2}{-6}=\frac{z+4}{9}.$

 

 

Домашнее задание.

2.199.

б)  Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$ 

Ответ: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-3}.$

 

2.205.

б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\{\begin{array}{lcl}x=3t+5,\\ y=2t,\\z=-2t-25. \end{array}\right.$

Ответ: 21.

 

2.206. Доказать, что прямые $L_1: \left\{\begin{array}{lcl}2x+2y-z-10=0,\\ x-y-z-22=0, \end{array}\right.$ и $L_2: \frac{x+7}{3}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-9}{4}.$ параллельны и найти расстояние $\rho(L_1, L_2)$

Ответ: 25.

 

2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $\frac{x-5}{5}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{-1}$ и $\frac{x-3}{4}=\frac{y+4}{-6}=\frac{z-5}{2}.$

Ответ: $\frac{x+1}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-5}.$

 

2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{2}.$

 Ответ: $\frac{x-7}{67}=\frac{y-1}{-28}=\frac{z}{70}.$

 

{jcomments on}